Encontre o limite ou demonstre que não existe.
29. \lim _{t \rightarrow \infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{t\to\infty}\bigl(\sqrt{25t^2+2}-5t\bigr). Para t\to\infty temos uma forma indeterminada do tipo \infty-\infty, então vamos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{25t^2+2}+5t:
\sqrt{25t^2+2}-5t = \frac{\bigl(\sqrt{25t^2+2}-5t\bigr)\bigl(\sqrt{25t^2+2}+5t\bigr)}{\sqrt{25t^2+2}+5t} = \frac{25t^2+2 - 25t^2}{\sqrt{25t^2+2}+5t} = \frac{2}{\sqrt{25t^2+2}+5t}.

Passo 3

Agora estudamos \frac{2}{\sqrt{25t^2+2}+5t}.
Para t\to\infty, \sqrt{25t^2+2}\approx5t, então o denominador cresce como 10t e a fração tende a zero.

Resposta

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