Encontre o limite ou demonstre que não existe.
30. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\bigr).
Aqui temos uma indeterminação do tipo \infty-\infty. Vamos usar racionalização do radical para transformar essa diferença numa forma que permita cálculo do limite.

Passo 2

Denote
A = \sqrt{4x^{2}+3x}+2x.
Multiplicamos e dividimos por seu conjugado \sqrt{4x^{2}+3x}-2x, obtendo
A = \frac{\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\bigr)\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\bigr)}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x} = \frac{4x^{2}+3x-4x^{2}}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x} = \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x}.

Passo 3

Para simplificar o denominador, note que
\sqrt{4x^{2}+3x} = |x|\sqrt{4+\frac{3}{x}}.
Como x\to -\infty, temos |x|=-x. Logo
\sqrt{4x^{2}+3x} = -x\sqrt{4+\frac{3}{x}},
e o denominador vira
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x = -x\sqrt{4+\frac{3}{x}}-2x = -x\Bigl(\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2\Bigr).
Assim,
A = \frac{3x}{-x\bigl(\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2\bigr)} = -\frac{3}{\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2}.

Passo 4

Agora basta fazer x\to -\infty. Como \tfrac{3}{x}\to0, temos \sqrt{4+\tfrac{3}{x}}\to2. Logo
\lim_{x\to -\infty}A = -\frac{3}{2+2} = -\frac{3}{4}.

Resposta

-\tfrac{3}{4}

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