Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema envolve o estudo de limites no infinito, mais especificamente de expressões que contêm raízes quadradas. Para chegar à solução, vamos precisar manipular a expressão para simplificá-la e facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observe que
domina o
quando
tende ao infinito. Podemos fatorar
dentro da raiz:
Aqui, usamos que
e que
para
.
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de volta no limite original:
Podemos fatorar
fora dos termos:
Passo 4
Vamos analisar a expressão dentro do parêntese. Quando
tende ao infinito,
se aproxima de 0. Então, podemos expandir a raiz usando a aproximação
para
pequeno:
Substituindo isso de volta na expressão:
Passo 5
Finalmente, avaliamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
O limite é igual a 0.