Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sumn=1^infty x^nn^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sumn=1^infty x^nn^2
Esse problema está relacionado ao estudo de Séries de Potência na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão (ou Teste da Raiz) para determinar o raio de convergência e, em seguida, verificar os pontos finais para encontrar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, consideramos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde .

Passo 4

Calculando an+1an = x^n+1(n+1)^2x^nn^2 = x^n+1 cdot n^2x^n cdot (n+1)^2 = x cdot ( nn+1 )^2 :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | x cdot ( nn+1 )^2 | = |x| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x| cdot 1 = |x| tende ao infinito:

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que |x| < 1 :
Isso nos indica que o raio de convergência é .

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos finais e .

Passo 8

Primeiro, para sumn=1^infty 1^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2 :
Sabemos que essa série é a série de Basel, que converge para .

Passo 9

Agora, para sumn=1^infty (-1)^nn^2 :
Essa é uma série alternada cuja série de termos absolutos converge, então, por consequência, a série original também converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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