Encontre o limite, se existir.
lim x -1 x^2+2 x+1x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o limite da função x^2+2x+1x+1 quando x se aproxima de -1. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo de Limites, que é uma parte fundamental do estudo de funções e suas comportamentos próximos a certos pontos. Vamos precisar usar algumas propriedades de álgebra para simplificar a expressão e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: x^2 + 2x + 1. Você reconhece essa expressão? Sim, ela é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado. Isso significa que conseguimos reescrevê-la como o quadrado de um binômio.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2
Então, a fração original fica:
(x + 1)^2x + 1

Passo 4

Agora, observamos que temos (x + 1) no numerador e no denominador. Podemos simplificar essa fração dividindo ambos os lados por (x + 1), desde que x + 1 neq 0 (ou seja, x neq -1). Isso é válido porque estamos interessados no limite, onde x se aproxima de -1, mas nunca iguala exatamente a -1.

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica:
(x + 1)^2x + 1 = x + 1
Então, agora precisamos encontrar o limite de x + 1 quando x se aproxima de -1.

Passo 6

Calcular o limite de x + 1 quando x se aproxima de -1 é simples. Basta substituir x por -1 na expressão:
limx to -1 (x + 1) = (-1) + 1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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