Encontre o limite. Use a Regra de l
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas como a arctan. Vamos precisar também da Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ∞/∞.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando 
  tende ao infinito.
- 
: O logaritmo natural de cresce sem limites, mas de forma bem lenta. Então, também tende ao infinito, mas ainda mais lentamente.  - 
: A função arco-tangente de se aproxima de conforme cresce, porque tende ao infinito.  - 
: Similarmente, tende a quando vai para o infinito, então o denominador se comporta como , que também vai para o infinito.  
Assim, temos uma forma 
 , que é indeterminada e permite o uso da Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se 
  resulta em 
  ou 
 , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Aqui, 
  e 
 .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de 
  e 
 :
Derivada de 
 :
Usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Derivada de 
 :
Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos analisar cada termo quando 
  tende ao infinito:
Então, o limite simplifica para:
Passo 6
Agora, precisamos calcular:
À medida que 
  cresce, 
  também tende ao infinito, então 
  tende a 
 .
Resposta
O limite é igual a 0.