Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{6 x^{2}+5 x-4}{4 x^{2}+16 x-9}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o limite
\lim_{x\to 1/2}\frac{6x^{2}+5x-4}{4x^{2}+16x-9}.
Informações dadas (explicitadas):
  • O numerador é o polinômio 6x^{2}+5x-4.
  • O denominador é o polinômio 4x^{2}+16x-9.
  • A variável x tende para 1/2.
    O objetivo é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro teste que sempre fazemos em limites de quociente de polinômios: substituição direta por x=1/2. Isso irá dizer se o limite é simplesmente o quociente dos valores ou se temos uma forma indeterminada que exige manipulação. Vamos calcular 6x^{2}+5x-4 e 4x^{2}+16x-9 em x=1/2.

Passo 3

Cálculo por substituição direta:
6\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\tfrac{1}{2}\right)-4 =6\cdot\tfrac{1}{4}+ \tfrac{5}{2}-4 =\tfrac{6}{4}+\tfrac{5}{2}-4.
Vamos pôr tudo em sextos ou em décimos como preferir; uso sextos: \tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{6}, \tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{6}, 4=\tfrac{24}{6}. Assim
\tfrac{9}{6}+\tfrac{15}{6}-\tfrac{24}{6}=0.
Logo o numerador é 0 quando x=\tfrac{1}{2}.
Agora o denominador:
4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+16\left(\tfrac{1}{2}\right)-9 =4\cdot\tfrac{1}{4}+8-9 =1+8-9=0.
Portanto, a substituição direta dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso significa que precisamos manipular a expressão (por exemplo fatorando e simplificando) ou aplicar a Regra de L’Hôpital — ambos são caminhos válidos. Como existe um método elementar (fatoração e cancelamento), vamos usá-lo primeiro.

Passo 4

Fatorar o numerador 6x^{2}+5x-4. Para encontrar raízes, uso a fórmula quadrática:
x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot 6\cdot(-4)}}{2\cdot 6} =\frac{-5\pm\sqrt{25+96}}{12} =\frac{-5\pm\sqrt{121}}{12} =\frac{-5\pm 11}{12}.
As duas raízes são
x=\frac{-5+11}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \quad\text{e}\quad x=\frac{-5-11}{12}=\frac{-16}{12}=-\frac{4}{3}.
Como o coeficiente líder é 6, a fatoração completa é
6x^{2}+5x-4=6\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{4}{3}\bigr).
(Verificação mental: multiplicando os fatores dá de volta o polinômio original.)

Passo 5

Fatorar o denominador 4x^{2}+16x-9. Novamente pela fórmula:
x=\frac{-16\pm\sqrt{16^{2}-4\cdot 4\cdot(-9)}}{2\cdot 4} =\frac{-16\pm\sqrt{256+144}}{8} =\frac{-16\pm\sqrt{400}}{8} =\frac{-16\pm 20}{8}.
As raízes são
x=\frac{-16+20}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \quad\text{e}\quad x=\frac{-16-20}{8}=\frac{-36}{8}=-\frac{9}{2}.
Como o coeficiente líder é 4, a fatoração é
4x^{2}+16x-9=4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{9}{2}\bigr).

Passo 6

Agora substituímos as fatorações na fração original e simplificamos o fator comum \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr) (que causa a indeterminação):
\frac{6x^{2}+5x-4}{4x^{2}+16x-9} =\frac{6\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{4}{3}\bigr)}{4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{9}{2}\bigr)} =\frac{6}{4}\cdot\frac{x+\tfrac{4}{3}}{x+\tfrac{9}{2}}, \quad\text{para }x\neq\tfrac{1}{2}.
Simplificando o coeficiente \tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}, obtemos a forma simplificada
\frac{3}{2}\cdot\frac{x+\tfrac{4}{3}}{x+\tfrac{9}{2}}.

Passo 7

Com a expressão simplificada, já não há indeterminação quando x\to\tfrac{1}{2}. Podemos tomar limite por substituição direta:
Calcule x+\tfrac{4}{3} em x=\tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{8}{6}=\tfrac{11}{6}.
Calcule x+\tfrac{9}{2} em x=\tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}+\tfrac{9}{2}=\tfrac{10}{2}=5.
Logo o limite vale
\frac{3}{2}\cdot\frac{\tfrac{11}{6}}{5} =\frac{3}{2}\cdot\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{5}.
Fazendo as simplificações: \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{11}{6}=\tfrac{33}{12}=\tfrac{11}{4}. Então
\frac{11}{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{11}{20}.

Passo 8

Verificação alternativa (Regra de L’Hôpital). Explico rápido a ideia e aplico para confirmar: quando uma limite produz \tfrac{0}{0} e numerador e denominador são diferenciáveis em um entorno do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), a Regra de L’Hôpital permite calcular o limite pela razão das derivadas, se esse novo limite existir. Aqui as derivadas existem (são polinomiais). Derivando:
\text{numerador}'= (6x^{2}+5x-4)'=12x+5, \qquad \text{denominador}'=(4x^{2}+16x-9)'=8x+16.
Avalia-se em x=\tfrac{1}{2}:
\frac{12\cdot\tfrac{1}{2}+5}{8\cdot\tfrac{1}{2}+16}=\frac{6+5}{4+16}=\frac{11}{20},
o mesmo resultado, confirmando a resposta obtida pela fatoração.

Resposta

\dfrac{11}{20}

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