Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o limite
Informações dadas (explicitadas):
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende para .
O objetivo é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro teste que sempre fazemos em limites de quociente de polinômios: substituição direta por
. Isso irá dizer se o limite é simplesmente o quociente dos valores ou se temos uma forma indeterminada que exige manipulação. Vamos calcular
e
em
.
Passo 3
Cálculo por substituição direta:
Vamos pôr tudo em sextos ou em décimos como preferir; uso sextos:
,
,
. Assim
Logo o numerador é
quando
.
Agora o denominador:
Portanto, a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que precisamos manipular a expressão (por exemplo fatorando e simplificando) ou aplicar a Regra de L’Hôpital — ambos são caminhos válidos. Como existe um método elementar (fatoração e cancelamento), vamos usá-lo primeiro.
Passo 4
Fatorar o numerador
. Para encontrar raízes, uso a fórmula quadrática:
As duas raízes são
Como o coeficiente líder é
, a fatoração completa é
(Verificação mental: multiplicando os fatores dá de volta o polinômio original.)
Passo 5
Fatorar o denominador
. Novamente pela fórmula:
As raízes são
Como o coeficiente líder é
, a fatoração é
Passo 6
Agora substituímos as fatorações na fração original e simplificamos o fator comum
(que causa a indeterminação):
Simplificando o coeficiente
, obtemos a forma simplificada
Passo 7
Com a expressão simplificada, já não há indeterminação quando
. Podemos tomar limite por substituição direta:
Calcule em
:
Calcule
Calcule
em
:
Logo o limite vale
Fazendo as simplificações:
. Então
Passo 8
Verificação alternativa (Regra de L’Hôpital). Explico rápido a ideia e aplico para confirmar: quando uma limite produz
e numerador e denominador são diferenciáveis em um entorno do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), a Regra de L’Hôpital permite calcular o limite pela razão das derivadas, se esse novo limite existir. Aqui as derivadas existem (são polinomiais). Derivando:
Avalia-se em
:
o mesmo resultado, confirmando a resposta obtida pela fatoração.