Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma razão entre duas funções de
. - Ao nos aproximarmos de
temos e . - Portanto, numerador e denominador tendem a zero simultaneamente, ou seja a forma é
(indeterminada), o que autoriza usar métodos como álgebra/trigonometria ou a Regra de L’Hôpital, desde que as hipóteses sejam satisfeitas.
Passo 2
Vou tentar primeiro um método elementar (identidades trigonométricas e simplificação), porque costuma ser mais rápido e limpo em provas. Uma identidade útil é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Explicando essa identidade de forma simples: parte-se de
e usa-se
, daí
. Essa identidade permite reescrever o denominador de maneira que possamos cancelar termos com o numerador.
Passo 3
Substituindo a identidade no denominador:
Como
, obtemos
Assim a expressão original fica
Passo 4
Agora aplicamos a técnica do conjugado para eliminar a diferença
. Multiplicamos numerador e denominador por
(isto é permitido pois estamos calculando limite e
não é zero perto de
; de fato em
vale
):
Usando
no numerador:
Agora podemos cancelar
(válido para
próximos de
, exceto exatamente onde
; mas o cancelamento faz sentido na passagem ao limite):
Passo 5
A expressão simplificada é contínua em torno de
, então basta substituir o valor do seno nesse ponto:
Pequena observação didática: poderíamos também ter usado a Regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma
. Aplicando L’Hôpital diretamente daria o mesmo resultado; veja rapidamente: derivadas são
e
, então a razão de derivadas é
. Usando
obtém-se
, que ao avaliar em
dá
. Assim, ambas as abordagens concordam.