Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{\theta \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\operatorname{sen} \theta}{1+\cos 2 \theta}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{\theta\to \pi/2}\frac{1-\operatorname{sen}\theta}{1+\cos 2\theta}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma razão entre duas funções de \theta.
  • Ao nos aproximarmos de \theta=\pi/2 temos \operatorname{sen}\theta\to 1 e \cos 2\theta\to \cos\pi=-1.
  • Portanto, numerador e denominador tendem a zero simultaneamente, ou seja a forma é 0/0 (indeterminada), o que autoriza usar métodos como álgebra/trigonometria ou a Regra de L’Hôpital, desde que as hipóteses sejam satisfeitas.

Passo 2

Vou tentar primeiro um método elementar (identidades trigonométricas e simplificação), porque costuma ser mais rápido e limpo em provas. Uma identidade útil é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos 2\theta = 1 - 2\operatorname{sen}^2\theta.
Explicando essa identidade de forma simples: parte-se de \cos 2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta e usa-se \cos^2\theta=1-\operatorname{sen}^2\theta, daí \cos 2\theta=(1-\operatorname{sen}^2\theta)-\operatorname{sen}^2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta. Essa identidade permite reescrever o denominador de maneira que possamos cancelar termos com o numerador.

Passo 3

Substituindo a identidade no denominador:
1+\cos 2\theta = 1 + (1-2\operatorname{sen}^2\theta) = 2 - 2\operatorname{sen}^2\theta = 2(1-\operatorname{sen}^2\theta).
Como 1-\operatorname{sen}^2\theta=\cos^2\theta, obtemos
1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta.
Assim a expressão original fica
\frac{1-\operatorname{sen}\theta}{1+\cos 2\theta} = \frac{1-\operatorname{sen}\theta}{2\cos^2\theta}.

Passo 4

Agora aplicamos a técnica do conjugado para eliminar a diferença 1-\operatorname{sen}\theta. Multiplicamos numerador e denominador por 1+\operatorname{sen}\theta (isto é permitido pois estamos calculando limite e 1+\operatorname{sen}\theta não é zero perto de \theta=\pi/2; de fato em \theta=\pi/2 vale 1+\operatorname{sen}\theta=2):
\frac{1-\operatorname{sen}\theta}{2\cos^2\theta} = \frac{(1-\operatorname{sen}\theta)(1+\operatorname{sen}\theta)}{2\cos^2\theta(1+\operatorname{sen}\theta)} = \frac{1-\operatorname{sen}^2\theta}{2\cos^2\theta(1+\operatorname{sen}\theta)}.
Usando 1-\operatorname{sen}^2\theta=\cos^2\theta no numerador:
\frac{1-\operatorname{sen}^2\theta}{2\cos^2\theta(1+\operatorname{sen}\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{2\cos^2\theta(1+\operatorname{sen}\theta)}.
Agora podemos cancelar \cos^2\theta (válido para \theta próximos de \pi/2, exceto exatamente onde \cos\theta=0; mas o cancelamento faz sentido na passagem ao limite):
\frac{\cos^2\theta}{2\cos^2\theta(1+\operatorname{sen}\theta)}=\frac{1}{2(1+\operatorname{sen}\theta)}.

Passo 5

A expressão simplificada é contínua em torno de \theta=\pi/2, então basta substituir o valor do seno nesse ponto:
\lim_{\theta\to \pi/2}\frac{1}{2(1+\operatorname{sen}\theta)}=\frac{1}{2(1+\operatorname{sen}(\pi/2))}=\frac{1}{2(1+1)}=\frac{1}{4}.
Pequena observação didática: poderíamos também ter usado a Regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma 0/0. Aplicando L’Hôpital diretamente daria o mesmo resultado; veja rapidamente: derivadas são (1-\operatorname{sen}\theta)'=-\cos\theta e (1+\cos2\theta)'=-2\sin2\theta, então a razão de derivadas é \dfrac{-\cos\theta}{-2\sin2\theta}=\dfrac{\cos\theta}{2\sin2\theta}. Usando \sin2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta obtém-se \dfrac{1}{4\operatorname{sen}\theta}, que ao avaliar em \theta=\pi/2 \dfrac{1}{4}. Assim, ambas as abordagens concordam.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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