Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
As informações dadas são apenas a expressão a limitar e que
. Ou seja, devemos decidir se o produto tende a um número finito, a
ou a
, e justificar o resultado rigorosamente (usando a Regra de L’Hôpital quando apropriado).
Passo 2
Transformação inicial e verificação da forma para usar L’Hôpital.
É conveniente escrever o produto como quociente para aplicar L’Hôpital:
Agora observamos os comportamentos das partes quando
:
-
. -
.
Portanto temos a forma indeterminada
, situação em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis, o que ocorre aqui).
Breve lembrete sobre a Regra de L’Hôpital: se
é uma forma
ou
e
são diferenciáveis numa vizinhança (exceto possivelmente em
), então
quando o limite do lado direito existir (ou for
).
Passo 3
Aplicar L’Hôpital e calcular derivadas passo a passo.
Tomamos
e
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador (usar regra da cadeia):
Pela Regra de L’Hôpital,
Simplificando o fator
,
Passo 4
Concluir a partir do resultado obtido.
No limite
o numerador
quando
e o denominador
. Uma fração cujo numerador tende a
e denominador tende a
tende a
. Portanto
Pela igualdade obtida via L’Hôpital, isso implica
Passo 5
Comentário alternativo (mais elementar/intuitivo) — para reforçar o entendimento.
Uma forma simples e muito usada é tomar logaritmo da função:
Quando
o termo dominante é
(pois
cresce muito mais devagar que
), logo
. Se o logaritmo da função tende a
, a própria função tende a
. Esse argumento pode ser tornado rigoroso usando que
(que por sua vez pode ser demonstrado com L’Hôpital).
Vai dar tudo certo na prova — exponencial “mata” raiz quadrada, o limite é zero.