Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x} e^{-x / 2}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}\,e^{-x/2}.
As informações dadas são apenas a expressão a limitar e que x\to\infty. Ou seja, devemos decidir se o produto tende a um número finito, a +\infty ou a 0, e justificar o resultado rigorosamente (usando a Regra de L’Hôpital quando apropriado).

Passo 2

Transformação inicial e verificação da forma para usar L’Hôpital.
É conveniente escrever o produto como quociente para aplicar L’Hôpital:
\sqrt{x}\,e^{-x/2}=\frac{\sqrt{x}}{e^{x/2}}.
Agora observamos os comportamentos das partes quando x\to\infty:
  • \sqrt{x}\to\infty.
  • e^{x/2}\to\infty.
Portanto temos a forma indeterminada \infty/\infty, situação em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis, o que ocorre aqui).
Breve lembrete sobre a Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} é uma forma 0/0 ou \infty/\infty e f,g são diferenciáveis numa vizinhança (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty).

Passo 3

Aplicar L’Hôpital e calcular derivadas passo a passo.
Tomamos f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e g(x)=e^{x/2}.
Derivada do numerador:
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Derivada do denominador (usar regra da cadeia):
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{x/2}=\frac{1}{2}e^{x/2}.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{x/2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\tfrac{1}{2}e^{x/2}}.
Simplificando o fator \tfrac{1}{2},
\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\tfrac{1}{2}e^{x/2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,e^{-x/2} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Concluir a partir do resultado obtido.
No limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}}
o numerador e^{-x/2}\to 0 quando x\to\infty e o denominador \sqrt{x}\to\infty. Uma fração cujo numerador tende a 0 e denominador tende a +\infty tende a 0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}}=0.
Pela igualdade obtida via L’Hôpital, isso implica
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x}\,e^{-x/2}=0.

Passo 5

Comentário alternativo (mais elementar/intuitivo) — para reforçar o entendimento.
Uma forma simples e muito usada é tomar logaritmo da função:
\ln\!\big(\sqrt{x}\,e^{-x/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln x-\tfrac{x}{2}.
Quando x\to\infty o termo dominante é -\tfrac{x}{2} (pois \ln x cresce muito mais devagar que x), logo \tfrac{1}{2}\ln x-\tfrac{x}{2}\to -\infty. Se o logaritmo da função tende a -\infty, a própria função tende a 0. Esse argumento pode ser tornado rigoroso usando que \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0 (que por sua vez pode ser demonstrado com L’Hôpital).
Vai dar tudo certo na prova — exponencial “mata” raiz quadrada, o limite é zero.

Resposta

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