Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{cotg} 2 x \operatorname{sen} 6 x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\operatorname{cotg} 2x\;\operatorname{sen} 6x.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A expressão é o produto da cotangente de 2x pela seno de 6x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.

Passo 2

Entender o tipo de indeterminação ao substituir x=0.
  • \operatorname{cotg} 2x=\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}. Em x=0 temos \sin 2x\to 0 e \cos 2x\to 1, logo \operatorname{cotg} 2x\to “infinito” (divisão por zero).
  • \operatorname{sen} 6x\to 0 quando x\to 0.
Portanto a expressão é do tipo \infty\cdot 0, uma indeterminação. Para resolver isso é útil reescrever o produto como uma forma que gere uma fração do tipo 0/0 ou \infty/\infty (onde se pode aplicar a Regra de L’Hôpital) ou usar limites elementares conhecidos.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica simples para transformar a expressão:
\operatorname{cotg} 2x\;\operatorname{sen} 6x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\,\sin 6x =\cos 2x\cdot\frac{\sin 6x}{\sin 2x}.
Agora o problema reduz-se a encontrar
\lim_{x\to 0}\cos 2x\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{\sin 2x}.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 0}\cos 2x.
  • A função \cos é contínua, então
\lim_{x\to 0}\cos 2x=\cos 0=1.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 6x}{\sin 2x} por método elementar (limite fundamental).
Usar o limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Escreve-se
\frac{\sin 6x}{\sin 2x} =\frac{\sin 6x}{6x}\cdot\frac{6x}{2x}\cdot\frac{2x}{\sin 2x}.
Cada fator tem comportamento quando x\to 0:
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{6x}=1 (pelo limite fundamental com t=6x);
  • \displaystyle\frac{6x}{2x}=3 (constante);
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin 2x}=1 (pelo limite fundamental com t=2x).
Multiplicando os limites,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{\sin 2x}=1\cdot 3\cdot 1=3.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados:
\lim_{x\to 0}\operatorname{cotg} 2x\;\operatorname{sen} 6x =\left(\lim_{x\to 0}\cos 2x\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{\sin 2x}\right) =1\cdot 3=3.

Passo 7

Opcional — verificação usando a Regra de L’Hôpital (para quem prefere aquela técnica):
  • A fração \dfrac{\sin 6x}{\sin 2x} é do tipo 0/0 quando x\to 0, então aplica-se L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{\sin 2x} =\lim_{x\to 0}\frac{( \sin 6x)'}{(\sin 2x)'} =\lim_{x\to 0}\frac{6\cos 6x}{2\cos 2x} =\lim_{x\to 0}\frac{6}{2}\cdot\frac{\cos 6x}{\cos 2x} =3\cdot\frac{1}{1}=3.
Multiplicando por \lim_{x\to 0}\cos 2x=1 obtém-se novamente 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados