Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A expressão é o produto da cotangente de
pela seno de . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Entender o tipo de indeterminação ao substituir
.
-
. Em temos e , logo “infinito” (divisão por zero). -
quando .
Portanto a expressão é do tipo
, uma indeterminação. Para resolver isso é útil reescrever o produto como uma forma que gere uma fração do tipo
ou
(onde se pode aplicar a Regra de L’Hôpital) ou usar limites elementares conhecidos.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica simples para transformar a expressão:
Agora o problema reduz-se a encontrar
Passo 4
Calcular
.
- A função
é contínua, então
Passo 5
Calcular
por método elementar (limite fundamental).
Usar o limite fundamental
Usar o limite fundamental
Escreve-se
Cada fator tem comportamento quando
:
-
(pelo limite fundamental com ); -
(constante); -
(pelo limite fundamental com ).
Multiplicando os limites,
Passo 6
Conclusão combinando os resultados:
Passo 7
Opcional — verificação usando a Regra de L’Hôpital (para quem prefere aquela técnica):
- A fração
é do tipo quando , então aplica-se L’Hôpital:
Multiplicando por
obtém-se novamente
.