Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow 2^{+}} \ln \left(x^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to2^+}\ln\bigl(x^2-4\bigr),
sabendo que a função \ln(u) só está definida para u>0. Vamos estudar o comportamento de u=x^2-4 quando x\to2^+.

Passo 2

Para x>2 temos
x^2-4 = (x-2)(x+2).
Ao aproximar x de 2 pela direita, x-2\to0^+ e x+2\to4. Logo
x^2-4 \;\longrightarrow\;0^+\quad\text{quando }x\to2^+.
Como \ln(u)\to-\infty quando u\to0^+, concluímos que
\ln\bigl(x^2-4\bigr)\to-\infty\quad\text{quando }x\to2^+.

Resposta

\lim_{x\to2^+}\ln\bigl(x^2-4\bigr) = -\infty.

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