Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}-x+2}{4 x^{3}-2 x+10}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-x+2}{4x^{3}-2x+10}.
Neste exercício vamos usar o fato de que, para polinômios de mesmo grau no numerador e denominador, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Para isso, precisamos dividir numerador e denominador pelo maior poder de x, que é x^{3}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{x^{3}-x+2}{4x^{3}-2x+10} =\frac{\frac{x^{3}-x+2}{x^{3}}}{\frac{4x^{3}-2x+10}{x^{3}}} =\frac{1-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}{4-\frac{2}{x^{2}}+\frac{10}{x^{3}}}.

Passo 3

Analisamos cada termo conforme x\to\infty: \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x^{3}}\to0.
Portanto, o numerador tende a
1 - 0 + 0 = 1
e o denominador tende a
4 - 0 + 0 = 4.

Passo 4

Como o denominador tende a um valor não nulo 4\neq0, vale a propriedade de limite de quociente e concluímos
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}{4-\frac{2}{x^{2}}+\frac{10}{x^{3}}} =\frac{1}{4}.

Resposta

\frac{1}{4}.

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