Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}
sem usar a regra de L’Hôspital. O conteúdo envolvido é análise de limites e manipulação algébrica de expressões com raízes, usando racionalização.

Passo 2

Para eliminar a diferença de raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}:
\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t} = \frac{(\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t})(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})} {t(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})} = \frac{(1+t)-(1-t)}{t(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})} = \frac{2t}{t(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})} = \frac{2}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}}.

Passo 3

Quando t\to 0, temos \sqrt{1+t}\to1 e \sqrt{1-t}\to1, logo
\lim_{t\to0}\frac{2}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}} =\frac{2}{1+1} =1.

Resposta

1

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