Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to \frac\pi2}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(x)}.
O conteúdo principal é limites de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade de ângulo duplo para a função seno.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}(2x)=2\,\sin(x)\,\cos(x).
Logo, para x\neq \frac\pi2 (onde \cos(x)\neq0 em qualquer vizinhança afastada do ponto),
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(x)} =\frac{2\,\sin(x)\,\cos(x)}{\cos(x)} =2\,\sin(x).

Passo 3

Como a função 2\sin(x) é contínua, seu limite em x\to\frac\pi2 é
\lim_{x\to \frac\pi2}2\,\sin(x) =2\,\sin\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =2\cdot1 =2.

Resposta

2

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