Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2}+1}}{3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{2x^{2}+1}}{3x-2}.
O conteúdo aqui é limite de função no infinito envolvendo raiz quadrada. Para resolver sem usar L’Hôpital, vamos usar a fatoração de x (o maior grau) dentro da raiz e no denominador, além de propriedades básicas de limites.

Passo 2

Como x\to\infty estamos em x>0, então \lvert x\rvert=x. Fatorando x^2 dentro da raiz, temos
\sqrt{2x^{2}+1} =\sqrt{x^{2}\Bigl(2+\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr)} =x\,\sqrt{2+\tfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Substituindo essa expressão no quociente e fatorando x do denominador, fica
\frac{\sqrt{2x^{2}+1}}{3x-2} =\frac{x\sqrt{2+\tfrac{1}{x^{2}}}}{x\bigl(3-\tfrac{2}{x}\bigr)} =\frac{\sqrt{2+\tfrac{1}{x^{2}}}}{3-\tfrac{2}{x}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando x\to\infty:
  • \tfrac{1}{x^{2}}\to0, logo \sqrt{2+\tfrac{1}{x^{2}}}\to\sqrt{2}.
  • \tfrac{2}{x}\to0, logo 3-\tfrac{2}{x}\to3.
    Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{2+\tfrac{1}{x^{2}}}}{3-\tfrac{2}{x}} =\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\frac{\sqrt{2}}{3}.

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