Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
Passo 1
O enunciado pede o valor de
O conteúdo envolve limites de expressões com raiz quadrada em que
tende a
. Para resolver sem usar a regra de L’Hôpital, vamos usar a técnica de racionalização do conjugado.
Passo 2
Multiplicamos a expressão interna pelo conjugado de
:
Passo 3
Portanto
Repare que, para
,
e o denominador
é bem definido (não se anula para
).
Passo 4
Para
podemos estimar
pois
quando
. Logo o denominador fica
Para
, a expansão de Taylor em
dá
, de modo que
Então
Passo 5
Como
, temos
. Logo
Resposta
O limite diverge para
.