Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\bigr).
O conteúdo envolve limites de expressões com raiz quadrada em que x tende a -\infty. Para resolver sem usar a regra de L’Hôpital, vamos usar a técnica de racionalização do conjugado.

Passo 2

Multiplicamos a expressão interna pelo conjugado de \sqrt{9x^{2}+x}-3x:
\sqrt{9x^{2}+x}-3x = \frac{\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\bigr)\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}+3x\bigr)}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{9x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.

Passo 3

Portanto
\sqrt{9x^{2}+x}-3x = \frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.
Repare que, para x<0, \sqrt{9x^{2}+x}>0 e o denominador \sqrt{9x^{2}+x}+3x é bem definido (não se anula para x\to -\infty).

Passo 4

Para x\to -\infty podemos estimar
\sqrt{9x^{2}+x} = |x|\sqrt{9+\tfrac1{x}} = -x\sqrt{9+\tfrac1{x}}
pois |x|=-x quando x<0. Logo o denominador fica
\sqrt{9x^{2}+x}+3x = -x\sqrt{9+\tfrac1{x}} + 3x = 3x\bigl(1 - \sqrt{1+\tfrac1{9x}}\bigr).
Para x\to -\infty, a expansão de Taylor em 1/(9x) \sqrt{1+\tfrac1{9x}} = 1 + \tfrac1{18x} + o(\tfrac1{x}), de modo que
1 - \sqrt{1+\tfrac1{9x}} = -\frac1{18x} + o\bigl(\tfrac1{x}\bigr).
Então
\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{x}{3x\bigl(1 - \sqrt{1+\tfrac1{9x}}\bigr)} = \frac{1}{3\bigl(1 - \sqrt{1+\tfrac1{9x}}\bigr)} \sim \frac{1}{3\bigl(-\frac1{18x}\bigr)} = -6x.

Passo 5

Como x\to -\infty, temos -6x\to +\infty. Logo
\sqrt{9x^{2}+x}-3x\;\longrightarrow\;+\infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

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