Encontre os limites nos exercícios a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
. - Não há restrições adicionais (a função está bem definida para todos os pares
).
Passo 2
Ideia-chave (no estilo “o que vale na prova”): se uma função é contínua no ponto em questão, o limite quando
tende a esse ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Vou explicar por quê e por partes, com cuidado.
Definição intuitiva de continuidade num ponto: uma função
é contínua em um ponto
se, quando as entradas se aproximam de
, os valores
também se aproximam de
. Em notação:
Fatos que usamos (todos padrão e fáceis de justificar):
- As projeções
e são contínuas: quando tem-se e . - A subtração é uma operação contínua: se
e então . - A função exponencial
é diferenciável em todo (tem derivada ), e toda função diferenciável é contínua. Logo é contínua em todo ponto real.
Conclusão desse passo: a composição
é contínua, porque é a composição de projeções, subtração e exponencial, todas contínuas.
Passo 3
Aplicando a propriedade da continuidade: como
é contínua em
, podemos trocar o limite pela avaliação:
Agora calculamos o limite interno
. Usando os fatos das projeções e da subtração:
portanto
Passo 4
Substituindo no passo anterior:
Se quiser um número aproximado,
.