Encontre os limites nos exercícios a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} e^{x-y}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,1)} e^{x-y}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=e^{x-y}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,1).
  • Não há restrições adicionais (a função está bem definida para todos os pares (x,y)).

Passo 2

Ideia-chave (no estilo “o que vale na prova”): se uma função é contínua no ponto em questão, o limite quando (x,y) tende a esse ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Vou explicar por quê e por partes, com cuidado.
Definição intuitiva de continuidade num ponto: uma função g é contínua em um ponto p se, quando as entradas se aproximam de p, os valores g(\cdot) também se aproximam de g(p). Em notação:
\lim_{z\to p} g(z)=g(p).
Fatos que usamos (todos padrão e fáceis de justificar):
  • As projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas: quando (x,y)\to(0,1) tem-se x\to0 e y\to1.
  • A subtração é uma operação contínua: se x\to a e y\to b então x-y\to a-b.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} é diferenciável em todo \mathbb{R} (tem derivada e^{t}), e toda função diferenciável é contínua. Logo e^{t} é contínua em todo ponto real.
Conclusão desse passo: a composição (x,y)\mapsto e^{x-y} é contínua, porque é a composição de projeções, subtração e exponencial, todas contínuas.

Passo 3

Aplicando a propriedade da continuidade: como f(x,y)=e^{x-y} é contínua em (0,1), podemos trocar o limite pela avaliação:
\lim_{(x,y)\to(0,1)} e^{x-y}=e^{\lim_{(x,y)\to(0,1)}(x-y)}.
Agora calculamos o limite interno \lim_{(x,y)\to(0,1)}(x-y). Usando os fatos das projeções e da subtração:
\lim_{(x,y)\to(0,1)} x = 0,\qquad \lim_{(x,y)\to(0,1)} y = 1,
portanto
\lim_{(x,y)\to(0,1)}(x-y)=0-1=-1.

Passo 4

Substituindo no passo anterior:
\lim_{(x,y)\to(0,1)} e^{x-y}=e^{-1}.
Se quiser um número aproximado, e^{-1}\approx 0,3679.

Resposta

\dfrac{1}{e}

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