Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \ln (x-5)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite: \displaystyle \lim_{x\to5^{+}} \ln(x-5).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolvida é \ln(\cdot), o logaritmo natural.
  • A variável x se aproxima de 5 pela direita (isto é, x>5 e x\to5).
  • Precisamos determinar se o limite existe como número real; se não existir, devemos explicar por que (por exemplo, diverge para +\infty ou -\infty ou não existe por oscilar).

Passo 2

Entender o domínio da função e o comportamento do argumento:
A função \ln(t) está definida apenas para t>0. No nosso caso o argumento é t=x-5. Quando x\to5^{+} temos x>5 e portanto t=x-5>0, mas t tende a 0 pela direita. Em símbolos:
t:=x-5,\qquad x\to5^{+}\\ \Longrightarrow\\ t\to0^{+}.
Portanto o problema é equivalente a estudar \displaystyle \lim_{t\to0^{+}}\ln(t).

Passo 3

Recordando o comportamento do logaritmo natural próximo de zero:
A função \ln(t) é contínua e estritamente crescente em (0,\infty). Para 0<t<1 vale \ln(t)<0. Ao fazermos t ficar cada vez menor e positivo (isto é, t\to0^{+}), os valores de \ln(t) descem sem limite, ficando cada vez mais negativos. Intuição: \ln(t) transforma multiplicação em soma; números muito pequenos correspondem a logaritmos com grande módulo negativo.

Passo 4

Argumento formal (prova da divergência para -\infty):
Queremos mostrar que \lim_{t\to0^{+}}\ln(t)=-\infty. Pela definição de divergência para -\infty, preciso provar que para qualquer número real M existe \delta>0 tal que, se 0<t<\delta, então \ln(t)<M.
Escolha um M\in\mathbb{R}. Considere \delta:=e^{M}. Como e^{M}>0, esta é uma escolha válida. Se 0<t<\delta, então tomando exponencial em ambos os lados da desigualdade \ln(t)<M (ou invertendo a função exponencial) obtemos exatamente:
0<t<e^{M}\quad\Longrightarrow\quad \ln(t)<\ln(e^{M})=M.
Assim, para qualquer M existe \delta=e^{M} que garante \ln(t)<M sempre que 0<t<\delta. Isso é a definição de \ln(t) tendendo a -\infty quando t\to0^{+}.

Passo 5

Voltando à variável original x:
Como t=x-5 e t\to0^{+} quando x\to5^{+}, concluímos que
\lim_{x\to5^{+}}\ln(x-5)=\lim_{t\to0^{+}}\ln(t)=-\infty.
Em palavras: ao nos aproximarmos de 5 pela direita, o argumento x-5 vai para zero pela direita e seu logaritmo vai para -\infty.

Resposta

-\infty

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