Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A função envolvida é
, o logaritmo natural. - A variável
se aproxima de pela direita (isto é, e ). - Precisamos determinar se o limite existe como número real; se não existir, devemos explicar por que (por exemplo, diverge para
ou ou não existe por oscilar).
Passo 2
Entender o domínio da função e o comportamento do argumento:
A função está definida apenas para
. No nosso caso o argumento é
. Quando
temos
e portanto
, mas
tende a
pela direita. Em símbolos:
A função
Portanto o problema é equivalente a estudar
.
Passo 3
Recordando o comportamento do logaritmo natural próximo de zero:
A função é contínua e estritamente crescente em
. Para
vale
. Ao fazermos
ficar cada vez menor e positivo (isto é,
), os valores de
descem sem limite, ficando cada vez mais negativos. Intuição:
transforma multiplicação em soma; números muito pequenos correspondem a logaritmos com grande módulo negativo.
A função
Passo 4
Argumento formal (prova da divergência para
):
Queremos mostrar que . Pela definição de divergência para
, preciso provar que para qualquer número real
existe
tal que, se
, então
.
Queremos mostrar que
Escolha um
. Considere
. Como
, esta é uma escolha válida. Se
, então tomando exponencial em ambos os lados da desigualdade
(ou invertendo a função exponencial) obtemos exatamente:
Assim, para qualquer
existe
que garante
sempre que
. Isso é a definição de
tendendo a
quando
.
Passo 5
Voltando à variável original
:
Como e
quando
, concluímos que
Como
Em palavras: ao nos aproximarmos de
pela direita, o argumento
vai para zero pela direita e seu logaritmo vai para
.