Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando a regra da função composta. As informações dadas são:
- A função é
. - O parâmetro
satisfaz (ou seja, ).
A tarefa: obter.
Passo 2
Identificar as funções internas e externas (isto é obrigatório para aplicar a regra da função composta).
- Função interna:
. - Função externa:
.
Em palavras:.
Passo 3
Lembrar a regra da função composta (chain rule): se
, então
Aqui
é a derivada da função interna e
é a derivada da função externa em relação a
.
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
.
Usando a regra do poder (power rule): a derivada de é
. Portanto
Usando a regra do poder (power rule): a derivada de
Passo 5
Calcular a derivada da função externa
em relação a
.
Uma maneira segura é escrever como exponencial natural:
Uma maneira segura é escrever
pois
está bem definido para
. Agora derivar em relação a
:
Voltando para
, isso dá
Observação rápida: se
então
e
, consistente com
sendo constante.
Passo 6
Aplicar a regra da função composta juntando os resultados dos passos anteriores:
Substituindo
obtemos
Passo 7
Formato final e comentários rápidos para a prova:
- A resposta pode ser escrita como
. - Caso especial: para
isso fica . - Dica prática para a prova: identifique a parte
como , calcule , lembre que e multiplique.