Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
F(x)=a^{\left(x^{2}\right)}\left(a \in R_{+}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de F usando a regra da função composta. As informações dadas são:
  • A função é F(x)=a^{\left(x^{2}\right)}.
  • O parâmetro a satisfaz a\in\mathbb{R}_{+} (ou seja, a>0).
    A tarefa: obter F'(x).

Passo 2

Identificar as funções internas e externas (isto é obrigatório para aplicar a regra da função composta).
  • Função interna: u(x)=x^{2}.
  • Função externa: f(u)=a^{u}.
    Em palavras: F(x)=f(u(x)).

Passo 3

Lembrar a regra da função composta (chain rule): se F(x)=f(u(x)), então
F'(x)=f'\big(u(x)\big)\,u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna e f'(u) é a derivada da função externa em relação a u.

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x)=x^{2}.
Usando a regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.

Passo 5

Calcular a derivada da função externa f(u)=a^{u} em relação a u.
Uma maneira segura é escrever a^{u} como exponencial natural:
a^{u}=e^{u\ln a},
pois \ln a está bem definido para a>0. Agora derivar em relação a u:
\frac{d}{du}\big(e^{u\ln a}\big)=e^{u\ln a}\cdot\ln a.
Voltando para a^{u}, isso dá
f'(u)=\frac{d}{du}\big(a^{u}\big)=a^{u}\ln a.
Observação rápida: se a=1 então \ln a=0 e f'(u)=0, consistente com 1^{u}=1 sendo constante.

Passo 6

Aplicar a regra da função composta juntando os resultados dos passos anteriores:
F'(x)=f'\big(u(x)\big)\,u'(x)=\big(a^{u(x)}\ln a\big)\cdot(2x).
Substituindo u(x)=x^{2} obtemos
F'(x)=2x\ln a\;a^{x^{2}}.

Passo 7

Formato final e comentários rápidos para a prova:
  • A resposta pode ser escrita como \,F'(x)=2x\ln a\;a^{x^{2}}\,.
  • Caso especial: para a=e isso fica \,F'(x)=2x\,e^{x^{2}}\,.
  • Dica prática para a prova: identifique a parte x^{2} como u, calcule u'=2x, lembre que \frac{d}{du}a^{u}=a^{u}\ln a e multiplique.

Resposta

F'(x)=2x\ln a\;a^{x^{2}}

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