Encontre os limites a seguir:
(c) lim (x, y) longrightarrow(0, ln 2) cos y+1y-sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim(x, y) to (0, ln 2) cos y + 1y - sin x
Aqui, estamos lidando com um limite de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções envolvidas se comportam quando e se aproximam de certos valores. Vamos utilizar o princípio de substituição direta, que é válido se as funções forem contínuas no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as funções no numerador e denominador são contínuas no ponto .
  • A função é contínua para todo .
  • A função é contínua para todo .
  • As funções constantes como também são contínuas.
  • A subtração e a soma de funções contínuas também são contínuas.
Então, ambas as partes, numerador e denominador, são contínuas no ponto . Isso significa que podemos aplicar a substituição direta.

Passo 3

Vamos substituir cos (ln 2) + 1ln 2 e nas expressões:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, o limite fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
lim(x, y) to (0, ln 2) cos y + 1y - sin x = cos (ln 2) + 1ln 2
Isso nos dá o valor final do limite.

Resposta

O limite é
cos (ln 2) + 1ln 2

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