Calcule o erro decorrente de tomarmos a diferencial dz como uma aproximação do acréscimo
, para as seguintes situações.
c)
; quando
passa de
para
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o erro que ocorre quando a gente usa a diferencial
como uma aproximação do acréscimo
para a função
. A gente vai precisar entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como a diferencial funciona para aproximar variações em funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
:
-
é a variação exata de quando e mudam de valores. -
é a aproximação dessa variação usando as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Vamos identificar os valores iniciais e finais de
e
:
- Inicialmente,
e . - Depois,
muda para (que é na notação decimal) e muda para (ou ).
Então:
Passo 4
Vamos calcular
nos pontos inicial e final para encontrar
:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Agora,
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a aproximação usando as diferenciais. Para isso, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
:
No ponto inicial
:
Então:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o erro, que é a diferença entre
e
:
Resposta
O erro decorrente de tomar a diferencial
como aproximação do acréscimo
é 0,162.