Calcule o erro decorrente de tomarmos a diferencial dz como uma aproximação do acréscimo Delta z, para as seguintes situações.
c) z = x^2 y; quando (x, y) passa de (2, 4) para (2,1 ; 4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o erro que ocorre quando a gente usa a diferencial como uma aproximação do acréscimo para a função . A gente vai precisar entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como a diferencial funciona para aproximar variações em funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e :
  • é a variação exata de quando e mudam de valores.
  • é a aproximação dessa variação usando as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos identificar os valores iniciais e finais de e :
  • Inicialmente, e .
  • Depois, muda para (que é na notação decimal) e muda para (ou ).
Então:

Passo 4

Vamos calcular nos pontos inicial e final para encontrar :
Primeiro, calculamos :
Então:
Agora, :

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a aproximação usando as diferenciais. Para isso, precisamos das derivadas parciais de em relação a e :
No ponto inicial :
Então:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o erro, que é a diferença entre e :

Resposta

O erro decorrente de tomar a diferencial como aproximação do acréscimo é 0,162.

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