Encontre a matriz de cada operador em L\left(\mathbb{R}^{3}\right) em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3} :
F(x, y, z)=(x, y, 0)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se: encontrar a matriz do operador linear F\in L(\mathbb{R}^3) em relação à base canônica de \mathbb{R}^3.
  • Informação dada sobre o operador:
    • Para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
    F(x,y,z)=(x,y,0).
  • Base canônica de \mathbb{R}^3 (que vamos usar): \,e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
O objetivo concreto: achar a matriz A tal que, para todo v\in\mathbb{R}^3, as coordenadas de F(v) na base canônica são dadas por A vezes as coordenadas de v na base canônica.

Passo 2

Conceitos importantes e método (explicação didática):
  • Um operador linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é representado por uma matriz A em relação à base canônica quando, para todo vetor v escrito como coordenadas colunas, vale
[F(v)]_{\text{can}} = A\,[v]_{\text{can}}.
  • Como estamos usando a base canônica, há uma regra muito simples e prática: as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica expressas nessa mesma base. Ou seja,
\text{col}_1(A) = [F(e_1)]_{\text{can}},\qquad \text{col}_2(A) = [F(e_2)]_{\text{can}},\qquad \text{col}_3(A) = [F(e_3)]_{\text{can}}.
  • Intuição rápida e útil na prova: aplicar A a um vetor (x,y,z) é o mesmo que formar a combinação linear x\cdot\text{col}_1(A)+y\cdot\text{col}_2(A)+z\cdot\text{col}_3(A).

Passo 3

Calcular as imagens dos vetores da base canônica pelo operador F:
  • Aplicando F a e_1=(1,0,0):
F(1,0,0) = (1,0,0).
Logo F(e_1) = (1,0,0).
  • Aplicando F a e_2=(0,1,0):
F(0,1,0) = (0,1,0).
Logo F(e_2) = (0,1,0).
  • Aplicando F a e_3=(0,0,1):
F(0,0,1) = (0,0,0).
Logo F(e_3) = (0,0,0).

Passo 4

Determinar as colunas da matriz a partir das imagens encontradas:
  • A primeira coluna de A é F(e_1) = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • A segunda coluna de A é F(e_2) = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • A terceira coluna de A é F(e_3) = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (como checar na prova sem calculadora):
  • Para um vetor genérico (x,y,z) escrito como coluna, a multiplicação por A resulta em
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]0\end{pmatrix},
que coincide com F(x,y,z). Isso confirma que a matriz construída representa corretamente F.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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