Encontre a matriz de cada operador em L\left(\mathbb{R}^{3}\right) em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3} : F(x, y, z)=(x, y, 0)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
Pede-se: encontrar a matriz do operador linear F\in L(\mathbb{R}^3) em relação à base canônica de \mathbb{R}^3.
Informação dada sobre o operador:
Para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
F(x,y,z)=(x,y,0).
Base canônica de \mathbb{R}^3 (que vamos usar):\,e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
O objetivo concreto: achar a matriz A tal que, para todo v\in\mathbb{R}^3, as coordenadas de F(v) na base canônica são dadas por A vezes as coordenadas de v na base canônica.
Passo 2
Conceitos importantes e método (explicação didática):
Um operador linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é representado por uma matriz A em relação à base canônica quando, para todo vetor v escrito como coordenadas colunas, vale
[F(v)]_{\text{can}} = A\,[v]_{\text{can}}.
Como estamos usando a base canônica, há uma regra muito simples e prática: as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica expressas nessa mesma base. Ou seja,
Intuição rápida e útil na prova: aplicar A a um vetor (x,y,z) é o mesmo que formar a combinação linear x\cdot\text{col}_1(A)+y\cdot\text{col}_2(A)+z\cdot\text{col}_3(A).
Passo 3
Calcular as imagens dos vetores da base canônica pelo operador F:
Aplicando F a e_1=(1,0,0):
F(1,0,0) = (1,0,0).
Logo F(e_1) = (1,0,0).
Aplicando F a e_2=(0,1,0):
F(0,1,0) = (0,1,0).
Logo F(e_2) = (0,1,0).
Aplicando F a e_3=(0,0,1):
F(0,0,1) = (0,0,0).
Logo F(e_3) = (0,0,0).
Passo 4
Determinar as colunas da matriz a partir das imagens encontradas:
A primeira coluna de A é F(e_1) = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A segunda coluna de A é F(e_2) = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A terceira coluna de A é F(e_3) = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]
Passo 5
Verificação rápida (como checar na prova sem calculadora):
Para um vetor genérico (x,y,z) escrito como coluna, a multiplicação por A resulta em