Dentre as seguintes aplicações, verifique quais são transformação lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y)=(y, x, x, y)

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4 definida por
T(x,y)=(y,x,x,y).
A tarefa é verificar se essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades que definem linearidade).

Passo 2

Definição (explicada com calma). Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(cu)=c\,T(u).
Aqui: um vetor genérico em \mathbb{R}^2 escrevo como u=(x_1,y_1) e outro como v=(x_2,y_2). O escalar c é um número real. Vou verificar as duas propriedades passo a passo.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tomando u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), primeiro calculo a soma dos vetores e então aplico T:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(y_1+y_2,\;x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora calculo T(u)+T(v) separadamente:
T(u)=(y_1,\;x_1,\;x_1,\;y_1), \qquad T(v)=(y_2,\;x_2,\;x_2,\;y_2).
Somando componente a componente:
T(u)+T(v)=(y_1+y_2,\;x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Comparando as expressões, obtemos
T(u+v)=T(u)+T(v),
logo a aditividade está verificada.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome u=(x,y) e um escalar c\in\mathbb{R}. Primeiro cu=(cx,cy). Aplicando T:
T(cu)=T(cx,cy)=(cy,\;cx,\;cx,\;cy).
Agora multiplico T(u) por c:
T(u)=(y,\;x,\;x,\;y)\quad\Rightarrow\quad c\,T(u)=(cy,\;cx,\;cx,\;cy).
Portanto
T(cu)=c\,T(u),
a homogeneidade também está verificada.

Passo 5

Conclusão das verificações. Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram satisfeitas para vetores e escalares arbitrários, T é de fato uma transformação linear.

Passo 6

Representação matricial (complemento útil para a prova). Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1) a base canônica de \mathbb{R}^2. Calculando as imagens:
T(e_1)=T(1,0)=(0,1,1,0), \qquad T(e_2)=T(0,1)=(1,0,0,1).
A matriz A 4\times 2 associada a T (colunas dadas por T(e_1) e T(e_2)) é
A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0\\[4pt] 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix},
e para todo v\in\mathbb{R}^2 vale T(v)=A v. Isso confirma novamente que T é linear.]

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

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