Dentre as seguintes aplicações, verifique quais são transformação lineares: T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y)=(y, x, x, y)
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4 definida por
T(x,y)=(y,x,x,y).
A tarefa é verificar se essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades que definem linearidade).
Passo 2
Definição (explicada com calma). Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(cu)=c\,T(u).
Aqui: um vetor genérico em \mathbb{R}^2 escrevo como u=(x_1,y_1) e outro como v=(x_2,y_2). O escalar c é um número real. Vou verificar as duas propriedades passo a passo.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tomando u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), primeiro calculo a soma dos vetores e então aplico T:
Conclusão das verificações. Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram satisfeitas para vetores e escalares arbitrários, T é de fato uma transformação linear.
Passo 6
Representação matricial (complemento útil para a prova). Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1) a base canônica de \mathbb{R}^2. Calculando as imagens: