Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de primeira ordem
Encontrar uma matriz fundamental qualquer para esse sistema (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes).
Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (chamada matriz fundamental principal).
Informações relevantes dadas:
A matriz do sistema é \;A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.]
Passo 2
O que é uma matriz fundamental? Uma matriz X(t) é fundamental se cada coluna é uma solução do sistema e X(t) é invertível para todo t (ou pelo menos num intervalo). Então qualquer solução geral pode ser escrita como
\mathbf{x}(t)=X(t)\mathbf{c},
onde \mathbf{c} é vetor de constantes.
O que é a matriz fundamental principal? É a matriz \boldsymbol{\Phi}(t) tal que
Método prático para sistemas com autovalores reais distintos: achar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A. Cada par (\lambda,\mathbf{v}) gera a solução \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Duas soluções linearmente independentes formam as colunas de uma matriz fundamental X(t). A partir dessa X(t) obtém-se a fundamental principal por
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}.
Passo 3
Vamos achar os autovalores de A. A equação característica é
\frac{3e^{t}-3e^{-t}}{2}=3\operatorname{sinh} t,\qquad \frac{-e^{t}+3e^{-t}}{2}=\operatorname{cosh} t-2\operatorname{sinh} t.
Portanto uma forma mais compacta é
\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{pmatrix} \operatorname{cosh} t + 2\operatorname{sinh} t & -\operatorname{sinh} t \\[6pt] 3\operatorname{sinh} t & \operatorname{cosh} t - 2\operatorname{sinh} t \end{pmatrix}.]
Passo 9
Pequena verificação: ao pôr t=0 tem-se \operatorname{cosh} 0=1 e \operatorname{sinh} 0=0, então