Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de primeira ordem
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}.
As tarefas são:
  • Encontrar uma matriz fundamental qualquer para esse sistema (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes).
  • Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (chamada matriz fundamental principal).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz do sistema é \;A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é uma matriz fundamental? Uma matriz X(t) é fundamental se cada coluna é uma solução do sistema e X(t) é invertível para todo t (ou pelo menos num intervalo). Então qualquer solução geral pode ser escrita como
\mathbf{x}(t)=X(t)\mathbf{c},
onde \mathbf{c} é vetor de constantes.
O que é a matriz fundamental principal? É a matriz \boldsymbol{\Phi}(t) tal que
\boldsymbol{\Phi}'(t)=A\boldsymbol{\Phi}(t)\quad\text{e}\quad \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Método prático para sistemas com autovalores reais distintos: achar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A. Cada par (\lambda,\mathbf{v}) gera a solução \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Duas soluções linearmente independentes formam as colunas de uma matriz fundamental X(t). A partir dessa X(t) obtém-se a fundamental principal por
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}.

Passo 3

Vamos achar os autovalores de A. A equação característica é
\det(A-\lambda I)=0.
Calcule:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)(-2-\lambda)+3 = -(2-\lambda)(2+\lambda)+3 = -\bigl(4-\lambda^2\bigr)+3 = -4+\lambda^2+3=\lambda^2-1.
Assim a equação característica é
\lambda^2-1=0,
logo os autovalores são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-1.]

Passo 4

Agora achamos um autovetor associado a \lambda_1=1. Resolvemos (A-I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}2-1 & -1 \\[4pt] 3 & -2-1\end{pmatrix}\mathbf{v} =\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}\mathbf{v}=\mathbf{0}.
A primeira equação dá v_1-v_2=0, então v_1=v_2. Podemos escolher o autovetor \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2=-1 resolvemos (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}2+1 & -1 \\[4pt] 3 & -2+1\end{pmatrix}\mathbf{v} =\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}\mathbf{v}=\mathbf{0}.
A equação reduz-se a 3v_1-v_2=0, então v_2=3v_1. Podemos escolher o autovetor \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cada autovalor gera uma solução exponencial. Portanto duas soluções independentes são
\mathbf{x}_1(t)=e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}_2(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Uma matriz fundamental (qualquer) é formada por essas colunas:
X(t)=\begin{pmatrix} e^{t} & e^{-t} \\[4pt] e^{t} & 3e^{-t}\end{pmatrix}.
Verificação rápida de independência: o determinante de X(t) é
\det X(t)=e^{t}\cdot 3e^{-t}-e^{t}\cdot e^{-t}=3-1=2\neq 0,
logo X(t) é invertível para todo t e, portanto, é de fato uma matriz fundamental.]

Passo 7

Agora queremos a matriz fundamental principal \boldsymbol{\Phi}(t) com \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. Usamos a fórmula
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}.
Calcule X(0):
X(0)=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante de X(0) é \det X(0)=1\cdot 3-1\cdot 1=2. Assim
X(0)^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora multiplicamos X(t) por X(0)^{-1}. Primeiro calcule o produto antes do fator 1/2:
M=X(t)\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3e^{t}-e^{-t} & -e^{t}+e^{-t}\\[6pt] 3e^{t}-3e^{-t} & -e^{t}+3e^{-t} \end{pmatrix}.
Dividindo por 2 obtemos
\boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3e^{t}-e^{-t} & -e^{t}+e^{-t}\\[6pt] 3e^{t}-3e^{-t} & -e^{t}+3e^{-t} \end{pmatrix}.
Podemos simplificar as entradas usando funções hiperbólicas, lembrando que
\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2},\qquad \operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Reescrevendo cada entrada:
\frac{3e^{t}-e^{-t}}{2}=\operatorname{cosh} t+2\operatorname{sinh} t,\qquad \frac{-e^{t}+e^{-t}}{2}=-\operatorname{sinh} t,
\frac{3e^{t}-3e^{-t}}{2}=3\operatorname{sinh} t,\qquad \frac{-e^{t}+3e^{-t}}{2}=\operatorname{cosh} t-2\operatorname{sinh} t.
Portanto uma forma mais compacta é
\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{pmatrix} \operatorname{cosh} t + 2\operatorname{sinh} t & -\operatorname{sinh} t \\[6pt] 3\operatorname{sinh} t & \operatorname{cosh} t - 2\operatorname{sinh} t \end{pmatrix}.]

Passo 9

Pequena verificação: ao pôr t=0 tem-se \operatorname{cosh} 0=1 e \operatorname{sinh} 0=0, então
\boldsymbol{\Phi}(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\mathbf{I},
como exigido. Assim \boldsymbol{\Phi}(t) é a matriz fundamental principal.]

Resposta

\begin{pmatrix} e^{t} & e^{-t} \\[4pt] e^{t} & 3e^{-t}\end{pmatrix}
\boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3e^{t}-e^{-t} & -e^{t}+e^{-t}\\[6pt] 3e^{t}-3e^{-t} & -e^{t}+3e^{-t} \end{pmatrix}]

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