Encontre os valores de máximo e mínimo globais de
sobre a elipse
.
Passo 1
O enunciado dá a função a ser otimizada e a restrição:
- Função:
. - Restrição (elipse):
.
O que é pedido:
- Encontrar os valores de máximo e mínimo globais de
sobre a curva dada (ou seja, os valores máximos e mínimos de quando varia na elipse) e os pontos onde eles ocorrem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A região de variação é a curva fechada e limitada
. Como é contínua, ela atinge máximo e mínimo nessa curva (existência garantida).
Passo 2
Escolha do método e breve justificativa (não se assuste — vou explicar cada passo devagarinho).
- Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange porque é um procedimento sistemático para encontrar extremos de uma função sob uma restrição dada por uma equação
. É direto de aplicar aqui e permite achar todos os candidatos a extremos na curva. - Alternativa possível: parametrizar a elipse com trigonometria e reduzir a um problema de uma variável. Depois eu faço um checagem rápida com essa parametrização para confirmar os resultados.
Antes de aplicar Lagrange, lembro a ideia (didaticamente): se
tem um extremo na curva
e a curva é bem comportada, então o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Introduzimos um multiplicador
e resolvemos o sistema.
Passo 3
Montar o sistema de Lagrange e obter as equações:
- Defino
. - Lagrangiana:
.
As condições de estacionaridade (derivadas parciais nulas):
e a restrição
Das duas primeiras equações obtemos relações úteis; escrevo-as isolando
e
:
Passo 4
Combinar as duas relações para eliminar
ou uma variável.
- Substituindo
na segunda equação:
- Isso implica ou
ou .
Vou tratar os dois casos separadamente.
Passo 5
Caso A:
.
- Pela restrição
vem , logo
- Os pontos candidatos são
e . - Em ambos,
.
Passo 6
Caso B:
, isto é
e
.
- Use
. Então
onde o sinal segue o sinal de
.
- Substituo isso na restrição:
-
Logo
e . -
Para cada
temos pela relação . Calculando explicitamente: - Se
e escolhemos o sinal (ou seja ), então Então o ponto é e - Se
com mesmo sinal em , então e Observação: os dois pontos com e com o mesmo sinal produzem . - Para
(sinal na relação), obtemos os outros dois pontos e , em que
- Se
Resumo dos candidatos e seus valores:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 7
Comparação e conclusão (por que são globais):
- A elipse é compacta e
é contínua, portanto os valores encontrados entre os candidatos são, de fato, os máximos e mínimos globais. - Ordenando os valores:
. - Assim:
- Máximo global de
sobre a elipse é , alcançado em e . - Mínimo global de
sobre a elipse é , alcançado em e .
- Máximo global de
Passo extra (checagem rápida por parametrização, só para intuir):
- Parametrizando a elipse por
, , temos
- Máximo ocorre quando
dando ; mínimo quando dando . Isso confirma os pontos e valores encontrados via Lagrange.
Resposta
Máximo global:
em
e
.
Mínimo global: em
e
.
Mínimo global: