Encontre os valores de máximo e mínimo globais de f(x, y)=x y sobre a elipse x^{2}+3 y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado dá a função a ser otimizada e a restrição:
  • Função: f(x,y)=x y.
  • Restrição (elipse): x^{2}+3y^{2}=4.
O que é pedido:
  • Encontrar os valores de máximo e mínimo globais de f sobre a curva dada (ou seja, os valores máximos e mínimos de f quando (x,y) varia na elipse) e os pontos onde eles ocorrem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região de variação é a curva fechada e limitada \{(x,y)\mid x^{2}+3y^{2}=4\}. Como f é contínua, ela atinge máximo e mínimo nessa curva (existência garantida).

Passo 2

Escolha do método e breve justificativa (não se assuste — vou explicar cada passo devagarinho).
  • Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange porque é um procedimento sistemático para encontrar extremos de uma função sob uma restrição dada por uma equação g(x,y)=0. É direto de aplicar aqui e permite achar todos os candidatos a extremos na curva.
  • Alternativa possível: parametrizar a elipse com trigonometria e reduzir a um problema de uma variável. Depois eu faço um checagem rápida com essa parametrização para confirmar os resultados.
Antes de aplicar Lagrange, lembro a ideia (didaticamente): se f tem um extremo na curva g(x,y)=0 e a curva é bem comportada, então o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Introduzimos um multiplicador \lambda e resolvemos o sistema.

Passo 3

Montar o sistema de Lagrange e obter as equações:
  • Defino g(x,y)=x^{2}+3y^{2}-4.
  • Lagrangiana: \displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=x y - \lambda\,(x^{2}+3y^{2}-4).
As condições de estacionaridade (derivadas parciais nulas):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0 \quad\Rightarrow\quad y - 2\lambda x = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0 \quad\Rightarrow\quad x - 6\lambda y = 0,
e a restrição
x^{2}+3y^{2}=4.
Das duas primeiras equações obtemos relações úteis; escrevo-as isolando y e x:
y = 2\lambda x \quad\text{e}\quad x = 6\lambda y.

Passo 4

Combinar as duas relações para eliminar \lambda ou uma variável.
  • Substituindo y=2\lambda x na segunda equação:
x = 6\lambda(2\lambda x) = 12\lambda^{2} x.
  • Isso implica ou x=0 ou 1 = 12\lambda^{2}.
Vou tratar os dois casos separadamente.

Passo 5

Caso A: x=0.
  • Pela restrição x^{2}+3y^{2}=4 vem 3y^{2}=4, logo
y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}.
  • Os pontos candidatos são \left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right) e \left(0,-\frac{2}{\sqrt{3}}\right).
  • Em ambos, f(x,y)=x y = 0.

Passo 6

Caso B: 1 = 12\lambda^{2}, isto é \lambda^{2}=\dfrac{1}{12} e \lambda=\pm\dfrac{1}{2\sqrt{3}}.
  • Use y=2\lambda x. Então
y = 2\lambda x \quad\Rightarrow\quad y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\,x,
onde o sinal segue o sinal de \lambda.
  • Substituo isso na restrição:
x^{2}+3\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}x\right)^{2} = x^{2}+3\cdot\frac{1}{3}x^{2}=x^{2}+x^{2}=2x^{2}=4.
  • Logo x^{2}=2 e x=\pm\sqrt{2}.
  • Para cada x temos y pela relação y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}x. Calculando explicitamente:
    • Se x=\sqrt{2} e escolhemos o sinal + (ou seja \lambda>0), então y = \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{2}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}.Então o ponto é \left(\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e f=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\sqrt{\tfrac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
    • Se x=-\sqrt{2} com mesmo sinal + em y=\frac{1}{\sqrt{3}}x, então y=-\sqrt{\tfrac{2}{3}} e f=(-\sqrt{2})(-\sqrt{\tfrac{2}{3}})=\frac{2}{\sqrt{3}}.Observação: os dois pontos com x e y com o mesmo sinal produzem f=+\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
    • Para \lambda<0 (sinal - na relação), obtemos os outros dois pontos \left(\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right), em que f=-\frac{2}{\sqrt{3}}.
Resumo dos candidatos e seus valores:
  • \left(\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right): f=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • \left(-\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right): f=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • \left(\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right): f=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • \left(-\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right): f=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • \left(0,\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\right): f=0.

Passo 7

Comparação e conclusão (por que são globais):
  • A elipse é compacta e f é contínua, portanto os valores encontrados entre os candidatos são, de fato, os máximos e mínimos globais.
  • Ordenando os valores: -\dfrac{2}{\sqrt{3}} < 0 < \dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • Assim:
    • Máximo global de f sobre a elipse é \dfrac{2}{\sqrt{3}}, alcançado em \left(\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).
    • Mínimo global de f sobre a elipse é -\dfrac{2}{\sqrt{3}}, alcançado em \left(\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).
Passo extra (checagem rápida por parametrização, só para intuir):
  • Parametrizando a elipse por x=2\cos t, y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin t, temos
f(t)=x y = 2\cos t\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\sin t = \frac{4}{\sqrt{3}}\cos t\sin t = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin(2t).
  • Máximo ocorre quando \sin(2t)=1 dando f_{\max}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}; mínimo quando \sin(2t)=-1 dando f_{\min}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Isso confirma os pontos e valores encontrados via Lagrange.

Resposta

Máximo global: \dfrac{2}{\sqrt{3}} em \left(\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).
Mínimo global: -\dfrac{2}{\sqrt{3}} em \left(\sqrt{2},-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{2},\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).

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