como produto de matrizes elementares E_{1},E_{2},\dots,E_{k}.
Sabemos que matrizes elementares correspondem a operações elementares sobre linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra. Além disso, toda matriz elementar é invertível e sua inversa também é elementar. A estratégia é:
Usar operações sobre linhas para reduzir A à matriz identidade I, anotando cada operação como uma matriz elementar F_{i} tal que F_{i}\cdot(\cdot) executa essa operação.
Obter
F_{m}\,\cdots\,F_{2}\,F_{1}\,A = I
Inverter essa igualdade para escrever
A = \bigl(F_{1}\bigr)^{-1}\,\bigl(F_{2}\bigr)^{-1}\,\cdots\,\bigl(F_{m}\bigr)^{-1},
onde cada \bigl(F_{i}\bigr)^{-1} é também elementar.]
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss em A via operações sobre linhas:
L_{2}\gets L_{2}-2L_{1}.
L_{2} se escala para tornar o pivô igual a 1: L_{2}\gets -\tfrac13\,L_{2}.
Zerar acima do pivô em (2,2): L_{1}\gets L_{1}-2L_{2}.
L_{3}\gets L_{3}-L_{2} para zerar o coeficiente em (3,2).
Escalar L_{3} para pivô em (3,3): L_{3}\gets \tfrac32\,L_{3}.
Zerar acima do pivô em (3,3): L_{1}\gets L_{1}-\tfrac13\,L_{3}.
Zerar acima do pivô em (3,3): L_{2}\gets L_{2}-\tfrac43\,L_{3}.
Após essas sete operações obtemos a identidade.
Passo 3
Cada uma das sete operações corresponde a uma matriz elementar F_{i} que, multiplicada à esquerda, a executa. Explicitamente: