Encontre matrizes na forma escada linha-equivalentes às matrizes abaixo:
B=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar matrizes “na forma escada” que sejam linha-equivalentes a B.
Informações relevantes: a matriz inicial é 3\times3. A tarefa é aplicar operações elementares sobre linhas para obter matrizes em forma escada (e, se quisermos, também em forma escada reduzida).]

Passo 2

Explico rapidamente o que são operações elementares de linha (para você usar na prova): são três tipos:
\text{(E1) trocar duas linhas,}\qquad \text{(E2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo,}\qquad \text{(E3) somar a uma linha um múltiplo de outra.}ãú
Essas operações mantêm as linhas equivalentes (não mudam o conjunto de combinações lineares das linhas), por isso chamamos “linha-equivalente”. A forma escada (row echelon) exige que cada linha não nula comece mais à direita que a linha anterior e que linhas nulas (se houver) fiquem embaixo. Vou aplicar operações do tipo (E3) e (E2) passo a passo.

Passo 3

Primeira operação: eliminar o elemento da posição (2,1). Faço
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
Calculando a nova R_2:
R_2 = (2,\,3,\,4) - 2(1,\,2,\,3) = (2-2,\;3-4,\;4-6) = (0,\,-1,\,-2).
A matriz fica
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -2 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Segunda operação: eliminar o elemento da posição (3,2) usando a linha 2 atual. Como R_2=(0,-1,-2), faço
R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2}.
Calculando:
R_3 = (0,\,2,\,1) + 2(0,\,-1,\,-2) = (0,\;2-2,\;1-4) = (0,\,0,\,-3).
A matriz fica agora
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação: a matriz acima é uma matriz triangular superior, portanto já está em forma escada (row echelon), pois cada pivô aparece à direita do pivô da linha anterior e não há linhas não-nulas abaixo de linhas nulas. Então uma matriz escada linha-equivalente a B é
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.
Vou também mostrar a forma escada reduzida (RREF), porque é única e útil na prova.]

Passo 6

Para obter a forma escada reduzida (rref) transformo cada pivô em 1 (operação E2) e elimino acima desses pivôs (operação E3).
Multiplico R_2 por -1:
R_2\leftarrow -1\cdot R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=(0,1,2).
Multiplico R_3 por -\tfrac{1}{3}:
R_3\leftarrow -\tfrac{1}{3}R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3=(0,0,1).
A matriz vira
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora elimino os elementos acima do pivô em coluna 3: uso R_3 para zerar a coluna 3 em R_1 e R_2.
Faço
R_2\leftarrow R_2-2R_3 \quad\Rightarrow\quad R_2=(0,1,0),
e
R_1\leftarrow R_1-3R_3 \quad\Rightarrow\quad R_1=(1,2,0).
A matriz fica
\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Finalmente, elimino o elemento acima do pivô em coluna 2 usando R_2:
R_1\leftarrow R_1-2R_2 \quad\Rightarrow\quad R_1=(1,0,0).
Assim chego à forma escada reduzida
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Observação rápida e motivadora: deu identidade I_3, o que mostra que B é invertível — mas o importante aqui é que I_3 é a forma escada reduzida única a que B pode ser levada por operações de linha.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Exercícios relacionados