Verifique se em cada um dos itens o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
, onde
com as operações usuais.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
(com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar). Informações dadas: todas as funções em
são de classe
e satisfazem a equação funcional diferencial homogênea
para todo
.
Passo 2
Lembrete prático e muito usado em provas: para mostrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço, convém verificar três propriedades (ou a versão equivalente):
-
não é vazio (o que costuma ser mostrado exibindo a função zero). -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou usar exatamente essas três verificações, explicando cada passo com calma.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (mostrar que a função zero está em
). Considere a função zero
dada por
para todo
. Ela é de classe
e sua derivada é a função zero também, isto é,
. Então
para todo
. Portanto a função zero pertence a
, logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob soma. Seja
e
. Pelo que está dado temos, para todo
,
Somando essas igualdades ponto a ponto obtemos
Mas
porque a derivada é linear. Assim
para todo
. Isso mostra que
. Conclusão:
é fechado para soma.
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
satisfaz
para todo
e a derivada é linear, temos
Como
para todo
, segue que
para todo
. Logo
. Conclusão:
é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 6
Com os passos anteriores temos as três propriedades exigidas:
, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto
é um subespaço vetorial de
. Mas vale a pena entender qual é a forma das funções de
, pois isso ajuda na prova e dá intuição para a prova oral ou escrita.
Passo 7
Encontrar a descrição explícita de
(resolver a equação diferencial). Tome
. Considere a função
. Calculamos a derivada de
usando a regra do produto:
Como
temos
para todo
, então
. Assim
tem derivada zero em todo lugar, o que implica que
é constante. Ou seja, existe uma constante
tal que
para todo
. Desfazendo
obtemos
Portanto toda função em
tem a forma
.
Passo 8
Verificar que funções da forma
realmente pertencem a
. Tome
. Então
. Logo
para todo
. Assim
. Portanto
ou seja,
é a reta (subespaço unidimensional) gerada por
.
Passo 9
Resumo e conclusão final do raciocínio: mostramos por verificação direta que
contém a função zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, logo é subespaço de
. Além disso, resolvendo a equação diferencial associada, vimos que
é exatamente o espaço gerado por
, portanto é um subespaço de dimensão
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.
Além disso, .
Além disso,