Verifique se em cada um dos itens o conjunto S é um subespaço vetorial de V.
S=\left\{f \in C^{1}(\mathbb{R}) ; f(x)+f^{\prime}(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}\right\}\, onde V=C^{1}(\mathbb{R}) com as operações usuais.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o conjunto
S=\left\{f \in C^{1}(\mathbb{R}) \mid f(x)+f^{\prime}(x)=0,\\ \forall x\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial do espaço vetorial V=C^{1}(\mathbb{R}) (com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar). Informações dadas: todas as funções em S são de classe C^{1} e satisfazem a equação funcional diferencial homogênea \,f+f'=0 para todo x.

Passo 2

Lembrete prático e muito usado em provas: para mostrar que um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço, convém verificar três propriedades (ou a versão equivalente):
  1. S não é vazio (o que costuma ser mostrado exibindo a função zero).
  2. S é fechado sob soma: se f,g\in S então f+g\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se f\in S e a\in\mathbb{R} então a f\in S.
Vou usar exatamente essas três verificações, explicando cada passo com calma.

Passo 3

Verificar que S não é vazio (mostrar que a função zero está em S). Considere a função zero 0:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por 0(x)=0 para todo x. Ela é de classe C^{1} e sua derivada é a função zero também, isto é, 0'(x)=0. Então
0(x)+0'(x)=0+0=0,
para todo x. Portanto a função zero pertence a S, logo S\neq\varnothing.

Passo 4

Verificar fechamento sob soma. Seja f\in S e g\in S. Pelo que está dado temos, para todo x,
f(x)+f'(x)=0 \quad\text{e}\quad g(x)+g'(x)=0.
Somando essas igualdades ponto a ponto obtemos
\bigl(f(x)+g(x)\bigr) + \bigl(f'(x)+g'(x)\bigr)=0+0=0.
Mas \bigl(f+g\bigr)'(x)=f'(x)+g'(x) porque a derivada é linear. Assim
(f+g)(x) + (f+g)'(x)=0
para todo x. Isso mostra que f+g\in S. Conclusão: S é fechado para soma.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja f\in S e a\in\mathbb{R}. Como f satisfaz f(x)+f'(x)=0 para todo x e a derivada é linear, temos
(af)(x) + (af)'(x) = a f(x) + a f'(x) = a\bigl(f(x)+f'(x)\bigr).
Como f(x)+f'(x)=0 para todo x, segue que
(af)(x) + (af)'(x) = a\cdot 0 = 0
para todo x. Logo af\in S. Conclusão: S é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 6

Com os passos anteriores temos as três propriedades exigidas: S\neq\varnothing, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto S é um subespaço vetorial de V. Mas vale a pena entender qual é a forma das funções de S, pois isso ajuda na prova e dá intuição para a prova oral ou escrita.

Passo 7

Encontrar a descrição explícita de S (resolver a equação diferencial). Tome f\in S. Considere a função g(x)=f(x)e^{x}. Calculamos a derivada de g usando a regra do produto:
g'(x)=f'(x)e^{x}+f(x)e^{x}=e^{x}\bigl(f'(x)+f(x)\bigr).
Como f\in S temos f'(x)+f(x)=0 para todo x, então g'(x)=e^{x}\cdot 0=0. Assim g tem derivada zero em todo lugar, o que implica que g é constante. Ou seja, existe uma constante C\in\mathbb{R} tal que g(x)=C para todo x. Desfazendo g obtemos
f(x)=C e^{-x},\qquad \forall x\in\mathbb{R}.
Portanto toda função em S tem a forma C e^{-x}.

Passo 8

Verificar que funções da forma C e^{-x} realmente pertencem a S. Tome f(x)=C e^{-x}. Então f'(x)=-C e^{-x}. Logo
f(x)+f'(x)=C e^{-x} - C e^{-x}=0
para todo x. Assim C e^{-x}\in S. Portanto
S=\{\,C e^{-x}\mid C\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{e^{-x}\},
ou seja, S é a reta (subespaço unidimensional) gerada por e^{-x}.

Passo 9

Resumo e conclusão final do raciocínio: mostramos por verificação direta que S contém a função zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, logo é subespaço de V. Além disso, resolvendo a equação diferencial associada, vimos que S é exatamente o espaço gerado por e^{-x}, portanto é um subespaço de dimensão 1.

Resposta

Sim. S é subespaço vetorial de V.
Além disso, \displaystyle S=\{C e^{-x}\mid C\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{e^{-x}\}.

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