Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os máximos e mínimos locais, aplicando o teste da segunda derivada quando possível.
Informações relevantes:
- A função está definida para todo
. - Devemos procurar pontos críticos (onde
ou é indefinida) e tentar usar o teste da segunda derivada para classificá-los. - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
. Lembrete das regras que usamos:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando essas regras:
Aqui cada termo está claro:
vem de
e
vem de
.
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos, que são as soluções de
(ou onde
não existe, mas aqui
existe para todo
).
Resolver
é equivalente a
Sabemos que
exatamente quando
Portanto os pontos críticos são
.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da segunda derivada quando possível. Primeiro calcule a segunda derivada:
A regra do teste da segunda derivada lembra:
- Se
então tem mínimo local em . - Se
então tem máximo local em . - Se
o teste é inconclusivo.
Avaliaremos
nos pontos críticos:
Mas
, então
O teste da segunda derivada é inconclusivo nesses pontos (porque dá zero).
Passo 5
Como o teste da segunda derivada foi inconclusivo, precisamos classificar os pontos por outro método. Uma abordagem simples e robusta é analisar o sinal de
em torno dos pontos críticos.
Observe primeiro um fato global sobre
:
Como
para todo
, temos
isto é,
para todo
. A igualdade
ocorre apenas quando
, ou seja exatamente nos pontos
.
Portanto
nunca é positiva: a derivada é sempre não-positiva e é estritamente negativa em todos os
que não são desses pontos. Isso significa que a função é globalmente não-increasing (decrescente, salvo “pontos planos” isolados).
Logo, em um ponto crítico
a derivada é zero, mas
é negativa tanto imediatamente à esquerda quanto imediatamente à direita de
. Não há mudança de sinal de
de positivo para negativo (nem de negativo para positivo), portanto esses pontos não são máximos nem mínimos locais.
Podemos reforçar a intuição local com uma expansão curta: escrevendo
com
pequeno,
então
mostrando que
fica negativo para
pequeno em ambos os lados. Assim o ponto tem tangente horizontal, mas a função continua decrescendo — é um ponto de inflexão horizontal (não um extremum).
Também é possível ver que a concavidade muda de sinal ao redor do ponto, já que
que muda de sinal quando
atravessa
, caracterizando ponto de inflexão.
Passo 6
Conclusão: não existem máximos nem mínimos locais para a função
. Os únicos pontos onde
são
e esses pontos são pontos de inflexão horizontal (derivada primeira zero, derivada segunda zero, sem mudança de sinal de
).
Resposta
Não existem máximos nem mínimos locais.
Os pontos críticos são (
); são pontos de inflexão horizontal, com
.
Os pontos críticos são