Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
y=\cos (x)-x.

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\cos(x)-x
e pede para encontrar os máximos e mínimos locais, aplicando o teste da segunda derivada quando possível.
Informações relevantes:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Devemos procurar pontos críticos (onde y'=0 ou y' é indefinida) e tentar usar o teste da segunda derivada para classificá-los.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira y'. Lembrete das regras que usamos:
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x).
  • A derivada de x é 1.
Aplicando essas regras:
y'=\frac{d}{dx}\big(\cos(x)-x\big) = -\sin(x)-1.
Aqui cada termo está claro: -\sin(x) vem de \cos(x) e -1 vem de -x.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos, que são as soluções de y'=0 (ou onde y' não existe, mas aqui y' existe para todo x).
Resolver
-\sin(x)-1=0
é equivalente a
\sin(x)=-1.
Sabemos que \sin(x)=-1 exatamente quando
x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto os pontos críticos são x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da segunda derivada quando possível. Primeiro calcule a segunda derivada:
y''=\frac{d}{dx}(-\sin(x)-1) = -\cos(x).
A regra do teste da segunda derivada lembra:
  • Se y''(x_c)>0 então y tem mínimo local em x_c.
  • Se y''(x_c)<0 então y tem máximo local em x_c.
  • Se y''(x_c)=0 o teste é inconclusivo.
Avaliaremos y'' nos pontos críticos:
y''\!\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right) = -\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right).
Mas \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0, então
y''\!\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)=0.
O teste da segunda derivada é inconclusivo nesses pontos (porque dá zero).

Passo 5

Como o teste da segunda derivada foi inconclusivo, precisamos classificar os pontos por outro método. Uma abordagem simples e robusta é analisar o sinal de y' em torno dos pontos críticos.
Observe primeiro um fato global sobre y':
y'(x)=-1-\sin(x).
Como \sin(x)\in[-1,1] para todo x, temos
-1-\sin(x)\le 0,
isto é, y'(x)\le 0 para todo x. A igualdade y'(x)=0 ocorre apenas quando \sin(x)=-1, ou seja exatamente nos pontos x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi.
Portanto y'(x) nunca é positiva: a derivada é sempre não-positiva e é estritamente negativa em todos os x que não são desses pontos. Isso significa que a função é globalmente não-increasing (decrescente, salvo “pontos planos” isolados).
Logo, em um ponto crítico x_c=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi a derivada é zero, mas \,y' é negativa tanto imediatamente à esquerda quanto imediatamente à direita de x_c. Não há mudança de sinal de y' de positivo para negativo (nem de negativo para positivo), portanto esses pontos não são máximos nem mínimos locais.
Podemos reforçar a intuição local com uma expansão curta: escrevendo x=x_c+t com t pequeno,
\sin(x)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)=-1+\frac{t^2}{2}+o(t^2),
então
y'(x)=-1-\sin(x) \approx -\frac{t^2}{2}\le 0,
mostrando que y' fica negativo para t\neq 0 pequeno em ambos os lados. Assim o ponto tem tangente horizontal, mas a função continua decrescendo — é um ponto de inflexão horizontal (não um extremum).
Também é possível ver que a concavidade muda de sinal ao redor do ponto, já que
y''(x)=-\cos(x),\qquad y''\!\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)\approx -t,
que muda de sinal quando t atravessa 0, caracterizando ponto de inflexão.

Passo 6

Conclusão: não existem máximos nem mínimos locais para a função y=\cos(x)-x. Os únicos pontos onde y'=0 são
x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
e esses pontos são pontos de inflexão horizontal (derivada primeira zero, derivada segunda zero, sem mudança de sinal de y').

Resposta

Não existem máximos nem mínimos locais.
Os pontos críticos são x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi ( k\in\mathbb{Z}); são pontos de inflexão horizontal, com y\big(\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\big)=-\big(\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\big).

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