O volume do cubo está aumentando à taxa de
. Com que taxa estará variando a área de uma de suas faces quando a aresta tiver
?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma taxa de variação:
- Dado: a aresta do cubo (denotada por
) varia no tempo e o volume do cubo está aumentando à taxa . - Pede-se: a taxa de variação da área de uma face do cubo, isto é
, no instante em que .
Passo 2
Vamos identificar as fórmulas que ligam as grandezas:
- Volume do cubo:
. Aqui é o volume em e é a aresta em . - Área de uma face do cubo:
. Aqui é a área em .
Vou explicar por que essas fórmulas valem: um cubo tem três dimensões iguais, cada face é um quadrado de lado
, então a área de uma face é lado vezes lado,
. O volume é área da base vezes altura; como base e altura são
,
.
Passo 3
Precisamos relacionar as taxas temporais
,
e
. Para isso diferenciamos as fórmulas em relação ao tempo
. Vou explicar a regra que usamos: quando uma quantidade depende de
que por sua vez depende de
, usamos a regra da cadeia — diferenciamos em relação a
e multiplicamos por
.
Diferenciando
em relação a
:
Aqui usei que a derivada de
em relação a
é
, e então multiplique por
(regra da cadeia).
Passo 4
Isolar
da relação anterior:
Isso nos diz como a aresta varia no tempo em função da taxa de variação do volume e do comprimento atual
.
Passo 5
Agora relacionamos
com
. Diferenciando
em relação a
e aplicando novamente a regra da cadeia:
Substituímos
obtido no passo anterior:
Simplificando:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
e
.
Se preferir decimal:
.
Passo 7
Interpretação final e unidades: o sinal positivo indica que a área da face está aumentando. As unidades fazem sentido:
dividido por
dá
, que é unidade de taxa de variação de área.