O volume do cubo está aumentando à taxa de 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Com que taxa estará variando a área de uma de suas faces quando a aresta tiver 30 m ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma taxa de variação:
  • Dado: a aresta do cubo (denotada por a) varia no tempo e o volume do cubo está aumentando à taxa \dfrac{dV}{dt}=2\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Pede-se: a taxa de variação da área de uma face do cubo, isto é \dfrac{dA}{dt}, no instante em que a=30\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos identificar as fórmulas que ligam as grandezas:
  • Volume do cubo: V=a^{3}. Aqui V é o volume em \mathrm{m^{3}} e a é a aresta em \mathrm{m}.
  • Área de uma face do cubo: A=a^{2}. Aqui A é a área em \mathrm{m^{2}}.
Vou explicar por que essas fórmulas valem: um cubo tem três dimensões iguais, cada face é um quadrado de lado a, então a área de uma face é lado vezes lado, a\cdot a=a^{2}. O volume é área da base vezes altura; como base e altura são a, V=a^{2}\cdot a=a^{3}.

Passo 3

Precisamos relacionar as taxas temporais \dfrac{dV}{dt}, \dfrac{da}{dt} e \dfrac{dA}{dt}. Para isso diferenciamos as fórmulas em relação ao tempo t. Vou explicar a regra que usamos: quando uma quantidade depende de a que por sua vez depende de t, usamos a regra da cadeia — diferenciamos em relação a a e multiplicamos por \dfrac{da}{dt}.
Diferenciando V=a^{3} em relação a t:
\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}(a^{3})=3a^{2}\frac{da}{dt}.
Aqui usei que a derivada de a^{3} em relação a a é 3a^{2}, e então multiplique por \dfrac{da}{dt} (regra da cadeia).

Passo 4

Isolar \dfrac{da}{dt} da relação anterior:
\frac{da}{dt}=\frac{1}{3a^{2}}\frac{dV}{dt}.
Isso nos diz como a aresta varia no tempo em função da taxa de variação do volume e do comprimento atual a.

Passo 5

Agora relacionamos \dfrac{dA}{dt} com \dfrac{da}{dt}. Diferenciando A=a^{2} em relação a t e aplicando novamente a regra da cadeia:
\frac{dA}{dt}=\frac{d}{dt}(a^{2})=2a\frac{da}{dt}.
Substituímos \dfrac{da}{dt} obtido no passo anterior:
\frac{dA}{dt}=2a\left(\frac{1}{3a^{2}}\frac{dV}{dt}\right)=\frac{2}{3}\frac{1}{a}\frac{dV}{dt}.
Simplificando:
\frac{dA}{dt}=\frac{2}{3a}\frac{dV}{dt}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos: \dfrac{dV}{dt}=2\\ \mathrm{m^{3}/s} e a=30\\ \mathrm{m}.
\frac{dA}{dt}=\frac{2}{3\cdot 30}\cdot 2=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Se preferir decimal: \dfrac{2}{45}\approx 0,0444\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 7

Interpretação final e unidades: o sinal positivo indica que a área da face está aumentando. As unidades fazem sentido: \mathrm{m^{3}/s} dividido por \mathrm{m} \mathrm{m^{2}/s}, que é unidade de taxa de variação de área.

Resposta

\dfrac{2}{45}\\ \mathrm{m^{2}/s}

Exercícios relacionados