Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar máximos e mínimos locais, aplicando o teste da segunda derivada quando isso for possível. Informações úteis fornecidas:
- A função é
. - Observação importante sobre domínio: o termo
exige (raízes pares só para no contexto dos reais), enquanto está bem definido para todo . Portanto o domínio da função é . - Precisamos encontrar pontos críticos (onde
ou não existe) dentro do domínio e classificá-los como máximo local, mínimo local ou não classificado; quando possível usar o teste da segunda derivada (que exige e definidos no ponto).
Passo 2
Derivando a função para
(explicando a regra que uso): a regra do poder diz que, para
,
. Aplicando a cada termo:
Simplificando os coeficientes:
Comentário didático: escrevi
para
e
para
. A derivada acima vale apenas para
; em
o segundo termo tem expoente negativo e, portanto, a expressão de
não é finita.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: são pontos do domínio onde
ou onde
não existe.
- Zeros de
(para ):
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar frações) e por
(positivo para
):
Calcule o expoente:
logo
Isolando
:
- Pontos onde
não existe: pelo formato de vemos que não está definida em (porque explode). Como pertence ao domínio , devemos considerar como candidato a ponto crítico também.
Resumo dos candidatos:
e
(único zero de
em
).
Passo 4
Calcular a segunda derivada para
(explicando novamente a regra do poder): derivando termo a termo
Simplificando os coeficientes:
Comentário: ambas as parcelas são positivas para todo
porque potências com expoentes negativos são positivas quando
e os coeficientes
e
são positivos.
Lembrete do teste da segunda derivada (didático): se
e
então
tem mínimo local em
. Se
então
tem máximo local. Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicar o teste da segunda derivada no ponto crítico
(ele é
, então podemos usar
ali). Como
, cada termo de
é positivo; portanto
Conclusão: pelo teste da segunda derivada,
é ponto de mínimo local.
Passo 6
Calcular o valor da função no mínimo (para apresentação limpa, uso manipulação de potências). Como
, obtenho:
Calcule potências necessárias:
Então
Fatorando
:
Valor numérico aproximado (útil para intuição):
e
.
Passo 7
Análise do ponto
(extremo na borda do domínio): em
temos
. O teste da segunda derivada não é aplicável em
porque
não está definido lá. Precisamos então analisar o comportamento imediato para a direita (única direção possível dentro do domínio):
- Para
pequeno, é muito menor que , então . Logo para positivo e suficientemente pequeno temos . Isso significa que é maior que os valores próximos à direita, ou seja, é um máximo local (máximo relativo) na borda do domínio.
Observação técnica: a derivada lateral direita, indicando que a função desce fortemente ao sair de , compatível com máximo local em 0.
Passo 8
Conclusão final (classificação dos extremos locais encontrada):
-
é um máximo local, com . O teste da segunda derivada não pôde ser aplicado em porque não existe aí; a classificação foi feita por análise de sinais. -
é um mínimo local (pelo teste da segunda derivada), com valor .