Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
y=x^{3 / 2}-2 x^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{3/2}-2x^{1/3} e pede para encontrar máximos e mínimos locais, aplicando o teste da segunda derivada quando isso for possível. Informações úteis fornecidas:
  • A função é y(x)=x^{3/2}-2x^{1/3}.
  • Observação importante sobre domínio: o termo x^{3/2} exige x\ge 0 (raízes pares só para x\ge0 no contexto dos reais), enquanto x^{1/3} está bem definido para todo x. Portanto o domínio da função é [0,\infty).
  • Precisamos encontrar pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe) dentro do domínio e classificá-los como máximo local, mínimo local ou não classificado; quando possível usar o teste da segunda derivada (que exige y' e y'' definidos no ponto).

Passo 2

Derivando a função para x>0 (explicando a regra que uso): a regra do poder diz que, para a\in\mathbb{R}, \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}. Aplicando a cada termo:
y'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}-2\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Simplificando os coeficientes:
y'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{2}{3}x^{-2/3},\qquad x>0.
Comentário didático: escrevi x^{1/2} para \sqrt{x} e x^{-2/3} para \dfrac{1}{x^{2/3}}. A derivada acima vale apenas para x>0; em x=0 o segundo termo tem expoente negativo e, portanto, a expressão de y' não é finita.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: são pontos do domínio onde y'(x)=0 ou onde y' não existe.
  1. Zeros de y' (para x>0):
\frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{2}{3}x^{-2/3}=0.
Multiplicando ambos os lados por 6 (para eliminar frações) e por x^{2/3} (positivo para x>0):
9x^{1/2+2/3}=4.
Calcule o expoente:
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3+4}{6}=\frac{7}{6},
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9x^{7/6}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{7/6}=\frac{4}{9}.
Isolando x:
x=\left(\frac{4}{9}\right)^{6/7}.
  1. Pontos onde y' não existe: pelo formato de y'(x) vemos que y' não está definida em x=0 (porque x^{-2/3} explode). Como x=0 pertence ao domínio [0,\infty), devemos considerar x=0 como candidato a ponto crítico também.
Resumo dos candidatos: x=0 e x=\left(\dfrac{4}{9}\right)^{6/7} (único zero de y' em x>0).

Passo 4

Calcular a segunda derivada para x>0 (explicando novamente a regra do poder): derivando termo a termo
y''(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3}.
Simplificando os coeficientes:
y''(x)=\frac{3}{4}x^{-1/2}+\frac{4}{9}x^{-5/3},\qquad x>0.
Comentário: ambas as parcelas são positivas para todo x>0 porque potências com expoentes negativos são positivas quando x>0 e os coeficientes \tfrac{3}{4} e \tfrac{4}{9} são positivos.
Lembrete do teste da segunda derivada (didático): se y'\text{(c)}=0 e y''\text{(c)}>0 então y tem mínimo local em x=c. Se y''\text{(c)}<0 então y tem máximo local. Se y''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicar o teste da segunda derivada no ponto crítico x_c=\left(\dfrac{4}{9}\right)^{6/7} (ele é >0, então podemos usar y'' ali). Como x_c>0, cada termo de y''(x_c)=\dfrac{3}{4}x_c^{-1/2}+\dfrac{4}{9}x_c^{-5/3} é positivo; portanto
y''(x_c)>0.
Conclusão: pelo teste da segunda derivada, x_c=\left(\dfrac{4}{9}\right)^{6/7} é ponto de mínimo local.

Passo 6

Calcular o valor da função no mínimo (para apresentação limpa, uso manipulação de potências). Como x_c^{7/6}=\dfrac{4}{9}, obtenho:
x_c=\left(\frac{4}{9}\right)^{6/7}.
Calcule potências necessárias:
x_c^{1/3}=\left(\frac{4}{9}\right)^{6/21}=\left(\frac{4}{9}\right)^{2/7}, \qquad x_c^{3/2}=\left(\frac{4}{9}\right)^{9/7}.
Então
y(x_c)=x_c^{3/2}-2x_c^{1/3}=\left(\frac{4}{9}\right)^{9/7}-2\left(\frac{4}{9}\right)^{2/7}.
Fatorando \left(\dfrac{4}{9}\right)^{2/7}:
y(x_c)=\left(\frac{4}{9}\right)^{2/7}\!\left(\left(\frac{4}{9}\right)^{7/7}-2\right) =\left(\frac{4}{9}\right)^{2/7}\!\left(\frac{4}{9}-2\right) =-\frac{14}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^{2/7}.
Valor numérico aproximado (útil para intuição): x_c\approx 0{,}499 e y(x_c)\approx -1{,}235.

Passo 7

Análise do ponto x=0 (extremo na borda do domínio): em x=0 temos y(0)=0. O teste da segunda derivada não é aplicável em 0 porque y' não está definido lá. Precisamos então analisar o comportamento imediato para a direita (única direção possível dentro do domínio):
  • Para x>0 pequeno, x^{3/2} é muito menor que x^{1/3}, então y(x)\approx -2x^{1/3}<0. Logo para x positivo e suficientemente pequeno temos y(x)<0=y(0). Isso significa que y(0) é maior que os valores próximos à direita, ou seja, x=0 é um máximo local (máximo relativo) na borda do domínio.
    Observação técnica: a derivada lateral direita \lim_{x\to0^+}y'(x)=-\infty, indicando que a função desce fortemente ao sair de 0, compatível com máximo local em 0.

Passo 8

Conclusão final (classificação dos extremos locais encontrada):
  • x=0 é um máximo local, com y(0)=0. O teste da segunda derivada não pôde ser aplicado em 0 porque y' não existe aí; a classificação foi feita por análise de sinais.
  • x=\left(\dfrac{4}{9}\right)^{6/7} é um mínimo local (pelo teste da segunda derivada), com valor y=-\dfrac{14}{9}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{2/7}\approx -1{,}235.

Resposta

x=0 é máximo local, y(0)=0.
x=\left(\dfrac{4}{9}\right)^{6/7} é mínimo local, y=-\dfrac{14}{9}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{2/7}\approx -1{,}235.

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