Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a diferença entre duas frações envolvendo funções trigonométricas.
- O ponto de aproximação é
. - Não há mais dados numéricos; é preciso analisar o comportamento da expressão quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro simplifico algebricamente a expressão (sem resolver o limite ainda).
A função cotangente satisfaz
, logo
No segundo termo o fator
no numerador e denominador cancela:
Portanto a expressão fica
Passo 3
Observação do comportamento das funções no ponto
:
-
tem descontinuidade em (tende a ). -
também tem descontinuidade em (tende a ).
Assim, os dois termos divergem individualmente ao aproximar de. Precisamos estudar a diferença com cuidado, considerando termos dominantes quando está muito próximo de .
Uma técnica natural é fazer a mudança de variável
de modo que
quando
. Vou desenvolver séries assintóticas em termos de
.
Passo 4
Escrevo as funções trigonométricas em torno de
usando identidades e séries para pequenos
.
Pelo deslocamento:
As expansões de Taylor em torno de
(mantendo termos até ordens necessárias) são
Logo, para
com
pequeno:
Passo 5
Agora obtenho a expansão de
.
Usando as expressões acima:
Para dividir as séries uso a fórmula
. Aqui
e
, então
. Portanto
Assim
Passo 6
Multiplico por
para obter
:
Faço o produto termo a termo:
Somando e desprezando
e ordens superiores para o que interessa:
Passo 7
Agora expando
. Lembrando
, temos
Multiplicando por
:
Passo 8
Agora formo a diferença
usando as expansões obtidas:
Escrevo os termos dominantes:
Subtraindo:
Calculando o coeficiente do termo
:
Portanto o termo dominante é
Passo 9
Conclusão sobre o limite:
- Se
(ou seja ), então e a expressão tende a . - Se
(ou seja ), então e a expressão tende a .
Assim os limites laterais divergem com sinais opostos, logo o limite bilateral em
não existe (não converge para um número finito nem para um infinito único).
Resposta
O limite não existe;
e
.