Calcule:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{x}{\operatorname{cotg}(x)}-\frac{2 \pi x}{x \cos (x)}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{x}{\operatorname{cotg}(x)}-\frac{2 \pi x}{x \cos (x)}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença entre duas frações envolvendo funções trigonométricas.
  • O ponto de aproximação é x=\dfrac{\pi}{2}.
  • Não há mais dados numéricos; é preciso analisar o comportamento da expressão quando x se aproxima de \dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Primeiro simplifico algebricamente a expressão (sem resolver o limite ainda).
A função cotangente satisfaz \operatorname{cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}, logo
\frac{x}{\operatorname{cotg}(x)}=x\cdot\frac{1}{\operatorname{cotg}(x)}=x\cdot\tan(x).
No segundo termo o fator x no numerador e denominador cancela:
\frac{2\pi x}{x\cos x}=\frac{2\pi}{\cos x}.
Portanto a expressão fica
x\tan(x)-\frac{2\pi}{\cos x}.

Passo 3

Observação do comportamento das funções no ponto \dfrac{\pi}{2}:
  • \tan(x) tem descontinuidade em x=\dfrac{\pi}{2} (tende a \pm\infty).
  • \dfrac{1}{\cos x} também tem descontinuidade em x=\dfrac{\pi}{2} (tende a \pm\infty).
    Assim, os dois termos divergem individualmente ao aproximar de \dfrac{\pi}{2}. Precisamos estudar a diferença com cuidado, considerando termos dominantes quando x está muito próximo de \dfrac{\pi}{2}.
Uma técnica natural é fazer a mudança de variável
h=x-\frac{\pi}{2},
de modo que h\to 0 quando x\to \dfrac{\pi}{2}. Vou desenvolver séries assintóticas em termos de h.

Passo 4

Escrevo as funções trigonométricas em torno de x=\dfrac{\pi}{2} usando identidades e séries para pequenos h.
Pelo deslocamento:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\cos h,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=-\sin h.
As expansões de Taylor em torno de 0 (mantendo termos até ordens necessárias) são
\sin h = h-\frac{h^{3}}{6}+O(h^{5}),\qquad \cos h = 1-\frac{h^{2}}{2}+O(h^{4}).
Logo, para x=\dfrac{\pi}{2}+h com h pequeno:
\sin x=\cos h=1-\frac{h^{2}}{2}+O(h^{4}),
\cos x=-\sin h= -\left(h-\frac{h^{3}}{6}+O(h^{5})\right)= -h+\frac{h^{3}}{6}+O(h^{5}).

Passo 5

Agora obtenho a expansão de \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
Usando as expressões acima:
\tan x=\frac{1-\frac{h^{2}}{2}+O(h^{4})}{-h+\frac{h^{3}}{6}+O(h^{5})} = -\frac{1}{h}\cdot\frac{1-\frac{h^{2}}{2}+O(h^{4})}{1-\frac{h^{2}}{6}+O(h^{4})}.
Para dividir as séries uso a fórmula \dfrac{1+A h^{2}+O(h^{4})}{1+B h^{2}+O(h^{4})}=1+(A-B)h^{2}+O(h^{4}). Aqui A=-\tfrac{1}{2} e B=-\tfrac{1}{6}, então A-B=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{3}. Portanto
\frac{1-\frac{h^{2}}{2}+O(h^{4})}{1-\frac{h^{2}}{6}+O(h^{4})}=1-\frac{h^{2}}{3}+O(h^{4}).
Assim
\tan x = -\frac{1}{h}\left(1-\frac{h^{2}}{3}+O(h^{4})\right) = -\frac{1}{h}+\frac{h}{3}+O(h^{3}).

Passo 6

Multiplico por x=\dfrac{\pi}{2}+h para obter x\tan x:
x\tan x=\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\left(-\frac{1}{h}+\frac{h}{3}+O(h^{3})\right).
Faço o produto termo a termo:
\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\left(-\frac{1}{h}\right)=-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{h}-1,
\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\left(\frac{h}{3}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{h}{3}+\frac{h^{2}}{3}.
Somando e desprezando O(h^{2}) e ordens superiores para o que interessa:
x\tan x = -\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{h}-1 + \frac{\pi}{2}\cdot\frac{h}{3} + O(h^{2}).

Passo 7

Agora expando \dfrac{2\pi}{\cos x}. Lembrando \cos x = -h+\dfrac{h^{3}}{6}+O(h^{5}), temos
\frac{1}{\cos x} = -\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{1-\frac{h^{2}}{6}+O(h^{4})} = -\frac{1}{h}\left(1+\frac{h^{2}}{6}+O(h^{4})\right) = -\frac{1}{h}-\frac{h}{6}+O(h^{3}).
Multiplicando por 2\pi:
\frac{2\pi}{\cos x} = -\frac{2\pi}{h}-\frac{\pi}{3}h + O(h^{3}).

Passo 8

Agora formo a diferença x\tan x-\dfrac{2\pi}{\cos x} usando as expansões obtidas:
Escrevo os termos dominantes:
x\tan x \approx -\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{h}-1 + \frac{\pi}{2}\cdot\frac{h}{3} + \ldots
\frac{2\pi}{\cos x} \approx -\frac{2\pi}{h}-\frac{\pi}{3}h + \ldots
Subtraindo:
x\tan x-\frac{2\pi}{\cos x} = \left(-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{h}\right) - \left(-\frac{2\pi}{h}\right) + \text{termos menos singulares}.
Calculando o coeficiente do termo 1/h:
-\frac{\pi}{2} -(-2\pi)= -\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{3\pi}{2}.
Portanto o termo dominante é
\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{h} + \text{termos que permanecem limitados quando }h\to 0.

Passo 9

Conclusão sobre o limite:
  • Se h\to 0^{+} (ou seja x\to \dfrac{\pi}{2}^{+}), então \dfrac{1}{h}\to +\infty e a expressão tende a +\infty.
  • Se h\to 0^{-} (ou seja x\to \dfrac{\pi}{2}^{-}), então \dfrac{1}{h}\to -\infty e a expressão tende a -\infty.
Assim os limites laterais divergem com sinais opostos, logo o limite bilateral em x=\dfrac{\pi}{2} não existe (não converge para um número finito nem para um infinito único).

Resposta

O limite não existe; \displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}=\;+\infty e \displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}=\;-\infty.

Exercícios relacionados