Encontre o modelo em função de transferência a partir da seguinte equação integro-diferencial, considerando y(t) como saída e u(t) como entrada (excitação).
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+12 \frac{d y(t)}{d t}+32 y(t)=32 u(t)

Passo 1

O enunciado fornece a equação integro-diferencial (na verdade uma EDO linear de segunda ordem com entrada):
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+12 \frac{d y(t)}{d t}+32 y(t)=32 u(t)
As informações relevantes:
  • y(t) é a saída (variável dependente).
  • u(t) é a entrada (excitação).
  • Coeficientes constantes: termo de aceleração 1, termo de primeira derivada 12, termo proporcional 32 e ganho da entrada 32.
    O que o problema pede:
  • Encontrar o modelo em função de transferência, isto é, a expressão G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} que relaciona a transformada de Laplace da saída com a da entrada (assumindo condições iniciais apropriadas para obter a função de transferência).

Passo 2

O que é e como se obtém uma função de transferência (explicação prática e passo a passo):
  • A função de transferência G(s) é definida como \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}, onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}.
  • Importante: para obter a função de transferência usamos transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas ( y(0)=0 e y'(0)=0). Esse é um procedimento padrão porque a função de transferência representa a resposta do sistema devido apenas à entrada, sem efeitos iniciais.
  • Fórmulas úteis da transformada de Laplace para derivadas (para uma função y(t)): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  • Assim, ao aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} na EDO e assumindo condições iniciais nulas, cada derivada vira um polinômio em s vezes Y(s).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação dada e tomando y(0)=0 e y'(0)=0:
  • Transformando termo a termo (com as fórmulas do passo anterior) e lembrando que \mathcal{L}\{u(t)\}=U(s):
\mathcal{L}\left\{\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right\}=s^{2}Y(s), \qquad \mathcal{L}\left\{12\frac{d y}{d t}\right\}=12sY(s), \qquad \mathcal{L}\{32y(t)\}=32Y(s).
  • Do lado direito:
\mathcal{L}\{32u(t)\}=32U(s).
  • Juntando tudo:
s^{2}Y(s)+12sY(s)+32Y(s)=32U(s).
  • Fatorando Y(s):
\bigl(s^{2}+12s+32\bigr)Y(s)=32U(s).

Passo 4

Isolando a razão Y(s)/U(s) e apresentando a função de transferência:
  • Dividindo ambos os lados por U(s) e pelo polinômio (s^{2}+12s+32):
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{32}{s^{2}+12s+32}.
  • Podemos fatorar o denominador para entender melhor os polos:
s^{2}+12s+32=(s+4)(s+8).
  • Portanto a função de transferência final é
G(s)=\frac{32}{(s+4)(s+8)}.
  • Observações rápidas (úteis para a prova): não há zeros finitos (numerador é constante), polos em s=-4 e s=-8 (ambos reais e negativos), logo o sistema é estável no sentido de polos à esquerda do eixo imaginário. O ganho em regime permanente para uma entrada de degrau unitário é G(0)=1.

Passo 5

(complemento didático: forma parcial e resposta ao impulso — útil para entender a forma temporal)
  • Decompondo em frações parciais para obter a resposta ao impulso h(t):
\frac{32}{(s+4)(s+8)}=\frac{A}{s+4}+\frac{B}{s+8}.
  • Encontrando A e B:
32=A(s+8)+B(s+4).
Tomando s=-4 32=4A\Rightarrow A=8. Tomando s=-8 32=-4B\Rightarrow B=-8.
  • Logo:
G(s)=\frac{8}{s+4}-\frac{8}{s+8}.
  • Invertendo a transformada de Laplace (para t\ge 0):
h(t)=8e^{-4t}-8e^{-8t}.
Isso mostra explicitamente como o sistema responde no tempo a um impulso unitário — mais um motivo para entender os polos e resíduos.

Resposta

G(s)=\frac{32}{s^{2}+12s+32}=\frac{32}{(s+4)(s+8)}

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