Encontre o modelo em função de transferência a partir da seguinte equação integro-diferencial, considerando
como saída e
como entrada (excitação).
Passo 1
O enunciado fornece a equação integro-diferencial (na verdade uma EDO linear de segunda ordem com entrada):
As informações relevantes:
-
é a saída (variável dependente). -
é a entrada (excitação). - Coeficientes constantes: termo de aceleração
, termo de primeira derivada , termo proporcional e ganho da entrada .
O que o problema pede: - Encontrar o modelo em função de transferência, isto é, a expressão
que relaciona a transformada de Laplace da saída com a da entrada (assumindo condições iniciais apropriadas para obter a função de transferência).
Passo 2
O que é e como se obtém uma função de transferência (explicação prática e passo a passo):
- A função de transferência
é definida como , onde e . - Importante: para obter a função de transferência usamos transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas (
e ). Esse é um procedimento padrão porque a função de transferência representa a resposta do sistema devido apenas à entrada, sem efeitos iniciais. - Fórmulas úteis da transformada de Laplace para derivadas (para uma função
): - Assim, ao aplicar
na EDO e assumindo condições iniciais nulas, cada derivada vira um polinômio em vezes .
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação dada e tomando
e
:
- Transformando termo a termo (com as fórmulas do passo anterior) e lembrando que
:
- Do lado direito:
- Juntando tudo:
- Fatorando
:
Passo 4
Isolando a razão
e apresentando a função de transferência:
- Dividindo ambos os lados por
e pelo polinômio :
- Podemos fatorar o denominador para entender melhor os polos:
- Portanto a função de transferência final é
- Observações rápidas (úteis para a prova): não há zeros finitos (numerador é constante), polos em
e (ambos reais e negativos), logo o sistema é estável no sentido de polos à esquerda do eixo imaginário. O ganho em regime permanente para uma entrada de degrau unitário é .
Passo 5
(complemento didático: forma parcial e resposta ao impulso — útil para entender a forma temporal)
- Decompondo em frações parciais para obter a resposta ao impulso
:
- Encontrando
e :
Tomando
dá
. Tomando
dá
.
- Logo:
- Invertendo a transformada de Laplace (para
):
Isso mostra explicitamente como o sistema responde no tempo a um impulso unitário — mais um motivo para entender os polos e resíduos.