Uma impressora laser utiliza um feixe de laser para imprimir cópias rapidamente para um computador. O laser é posicionado por um sinal de controle de entrada r(t) de modo que se tenha
Y(s)=\frac{4(s+50)}{s^{2}+30 s+200} R(s)
A entrada r(t) representa a posição desejada do feixe de laser.
(a) Se r(t) é uma entrada degrau unitário, determine a saída y(t).
(b) Qual é o valor final de y(t) ?

Passo 1

O enunciado fornece a função de resposta em frequência (relação entre saídas e entradas no domínio de Laplace):
\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{4(s+50)}{s^{2}+30s+200}.
Pede-se:
(a) se r(t) é um degrau unitário, determinar y(t) (a saída temporal);
(b) determinar o valor final de y(t), isto é \lim_{t\to\infty}y(t).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função de transferência entre saída e entrada é \dfrac{4(s+50)}{s^{2}+30s+200}.
  • A entrada é um degrau unitário r(t)=u(t), cujo transformada de Laplace é R(s)=\dfrac{1}{s}.
  • Vamos precisar fazer decomposição em frações parciais de Y(s) e usar transformadas inversas de Laplace, e também podemos usar o Teorema do Valor Final para (b).

Passo 2

Escrever Y(s) quando R(s)=\dfrac{1}{s}. Multiplicando a função de transferência por R(s) obtemos:
Y(s)=\frac{4(s+50)}{s^{2}+30s+200}\cdot\frac{1}{s}=\frac{4(s+50)}{s(s^{2}+30s+200)}.
Para manipular mais fácil, vamos fatorar o polinômio quadrático do denominador.

Passo 3

Fatorar s^{2}+30s+200. Calcula-se as raízes:
\Delta=30^{2}-4\cdot1\cdot200=900-800=100,\quad \sqrt{\Delta}=10.
As raízes são
s=\frac{-30\pm10}{2} \Rightarrow s=-10\quad\text{e}\quad s=-20.
Logo
s^{2}+30s+200=(s+10)(s+20),
e portanto
Y(s)=\frac{4(s+50)}{s(s+10)(s+20)}.

Passo 4

Fazer decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{4(s+50)}{s(s+10)(s+20)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{s+20}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+10)(s+20) obtemos a identidade polinomial
4(s+50)=A(s+10)(s+20)+B s(s+20)+C s(s+10).
Para determinar A,B,C usamos o método do “cover-up” (avaliar em valores que cancelam termos) — é rápido e seguro aqui.
  • Para s=0:
4(0+50)=200=A(0+10)(0+20)=A\cdot200 \Rightarrow A=1.
  • Para s=-10:
4(-10+50)=4\cdot40=160=B\cdot(-10)(-10+20)=B\cdot(-10)\cdot10=B\cdot(-100)
Logo
B=\frac{160}{-100}=-\frac{8}{5}.
  • Para s=-20:
4(-20+50)=4\cdot30=120=C\cdot(-20)(-20+10)=C\cdot(-20)\cdot(-10)=C\cdot200
Logo
C=\frac{120}{200}=\frac{3}{5}.
Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{8}{5}\cdot\frac{1}{s+10}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s+20}.

Passo 5

Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembrando as correspondências fundamentais:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (para t\ge0, o degrau unitário),
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t} (para t\ge0).
Usando essas regras:
y(t)=1-\frac{8}{5}e^{-10t}+\frac{3}{5}e^{-20t},\qquad t\ge0.

Passo 6

Verificações rápidas (úteis para prova e confiança):
  • Valor inicial y(0^+)=1-\dfrac{8}{5}+\dfrac{3}{5}=1-\dfrac{5}{5}=0. Faz sentido: sistema em repouso antes do degrau inicia em zero.
  • Comportamento em regime permanente: os termos exponenciais decaem para zero quando t\to\infty, então y(t)\to1. Isso confirma o que vamos calcular formalmente pelo Teorema do Valor Final.

Passo 7

Usar o Teorema do Valor Final como alternativa (e para mostrar o método): se os polos de sY(s) estão à esquerda no semiplano esquerdo, então
\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to0}sY(s).
Aqui
sY(s)=\frac{4(s+50)}{(s+10)(s+20)} \quad\Rightarrow\quad \lim_{s\to0}sY(s)=\frac{4(0+50)}{(0+10)(0+20)}=\frac{200}{200}=1.
Portanto o valor final é 1, consistente com a expressão de y(t).

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=1-\frac{8}{5}e^{-10t}+\frac{3}{5}e^{-20t},\quad t\ge0
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=1

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