Uma impressora laser utiliza um feixe de laser para imprimir cópias rapidamente para um computador. O laser é posicionado por um sinal de controle de entrada
de modo que se tenha
A entrada
representa a posição desejada do feixe de laser.
(a) Se
é uma entrada degrau unitário, determine a saída
.
(b) Qual é o valor final de
?
(a) Se
(b) Qual é o valor final de
Passo 1
O enunciado fornece a função de resposta em frequência (relação entre saídas e entradas no domínio de Laplace):
Pede-se:
(a) se é um degrau unitário, determinar
(a saída temporal);
(b) determinar o valor final de , isto é
.
(a) se
(b) determinar o valor final de
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função de transferência entre saída e entrada é
. - A entrada é um degrau unitário
, cujo transformada de Laplace é . - Vamos precisar fazer decomposição em frações parciais de
e usar transformadas inversas de Laplace, e também podemos usar o Teorema do Valor Final para (b).
Passo 2
Escrever
quando
. Multiplicando a função de transferência por
obtemos:
Para manipular mais fácil, vamos fatorar o polinômio quadrático do denominador.
Passo 3
Fatorar
. Calcula-se as raízes:
As raízes são
Logo
e portanto
Passo 4
Fazer decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para determinar
usamos o método do “cover-up” (avaliar em valores que cancelam termos) — é rápido e seguro aqui.
- Para
:
- Para
:
Logo
- Para
:
Logo
Portanto a decomposição é
Passo 5
Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembrando as correspondências fundamentais:
-
(para , o degrau unitário), -
(para ).
Usando essas regras:
Passo 6
Verificações rápidas (úteis para prova e confiança):
- Valor inicial
. Faz sentido: sistema em repouso antes do degrau inicia em zero. - Comportamento em regime permanente: os termos exponenciais decaem para zero quando
, então . Isso confirma o que vamos calcular formalmente pelo Teorema do Valor Final.
Passo 7
Usar o Teorema do Valor Final como alternativa (e para mostrar o método): se os polos de
estão à esquerda no semiplano esquerdo, então
Aqui
Portanto o valor final é
, consistente com a expressão de
.
Resposta
(a)
(b)