Encontre o numerador ou o denominador que está faltando, de modo que as duas expressões racionais sejam equivalentes.
\frac{x+3}{x-2}=\frac{?}{x^{2}+2 x-8}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade de duas frações
\displaystyle \frac{x+3}{x-2} = \frac{?}{x^{2}+2x-8}
e pede para encontrar o numerador que torna essas expressões racionais equivalentes. O conteúdo usado será fatoração de polinômios e equivalência de frações.

Passo 2

Precisamos fatorar o denominador da fração da direita:
x^{2} + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4).

Passo 3

Para que
\displaystyle \frac{x+3}{x-2}
seja igual a
\displaystyle \frac{N(x)}{(x-2)(x+4)},
basta multiplicar o numerador (x+3) pelo fator extra (x+4). Logo,
N(x) = (x+3)\,(x+4).

Passo 4

Expandindo o produto, obtemos
(x+3)(x+4) = x^{2} + 7x + 12.

Resposta

O numerador que falta é x^{2} + 7x + 12.

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