Encontre o numerador ou o denominador que está faltando, de modo que as duas expressões racionais sejam equivalentes.
\frac{x-4}{x+5}=\frac{x^{2}-x-12}{?}

Passo 1

O enunciado pede para completar a igualdade de funções racionais
\frac{x-4}{x+5} \;=\;\frac{x^2 - x - 12}{\;?\;}
de modo que elas sejam idênticas para todos os x do domínio (exceto pontos de descontinuidade). O conteúdo envolve equivalência de expressões racionais e fatoração de polinômios.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador da segunda fração:
x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3).

Passo 3

Substituindo na igualdade, temos
\frac{(x-4)(x+3)}{D} \;=\;\frac{x-4}{x+5},
onde D é o denominador que falta. Para x\neq4 podemos cancelar o fator (x-4), obtendo
\frac{x+3}{D} = \frac{1}{x+5}.

Passo 4

Basta agora igualar as duas frações:
\frac{x+3}{D} = \frac{1}{x+5} \quad\Longrightarrow\quad D = (x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15.

Resposta

O denominador que falta é \;x^2 + 8x + 15, ou equivalentemente (x+3)(x+5).

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