Encontre \operatorname{det}(A) e A^{-1} em que A=\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 7 & 1 & 1\end{array}\right]_{4 X 4} Passo 1O enunciado pede o cálculo de \det(A) e de A^{-1} para A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 & -2\\\\ 3 & -1 & 0 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 7 & 1 & 1 \end{pmatrix}. Conteúdos necessários: Cálculo de determinante por eliminação gaussiana (triangularização). Cálculo de inversa por método de Gauss–Jordan (matriz aumentada [A\mid I]). Passo 2Para \det(A), eliminamos abaixo de a_{11}=4 sem alterar o determinante, obtendo uma forma triangular: \det(A)=4\cdot\det\begin{pmatrix} -\tfrac14 & -\tfrac32 & \tfrac32\\[6pt] \tfrac72 & 0 & 1\\[3pt] 7 & 1 & 1 \end{pmatrix}. Expandindo por cofactores na primeira linha deste 3\times3, acha-se \det\begin{pmatrix} -\tfrac14 & -\tfrac32 & \tfrac32\\\ \tfrac72 & 0 & 1\\\\ 7 & 1 & 1 \end{pmatrix} =\tfrac14\cdot(-1)-\bigl(-\tfrac32\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac72\bigr) +\tfrac32\cdot\tfrac72 =\tfrac14- \tfrac{21}{4}+\tfrac{21}{4}=\tfrac14. Logo \det(A)=4\cdot\tfrac14=1.] Passo 3Para A^{-1}, montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid I_4\bigr] e fazemos Gauss–Jordan até obter [\;I_4\mid A^{-1}\;]. O resultado final no lado direito é A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 4 & -2\\\\ -3 & -4 & 12 & -6\\\\ 11 & 14 & -43 & 22\\\\ 10 & 14 & -41 & 21 \end{pmatrix}. Resposta \det(A)=1 A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 4 & -2\\\\ -3 & -4 & 12 & -6\\\\ 11 & 14 & -43 & 22\\\\ 10 & 14 & -41 & 21 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosProve que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+2 y+3 z-3 w & =a \\\\ 2 x-5 y-3 z+12 w & =b \\\\ 7 x+y+8 z+5 w & =c\end{array}\right., admite solução se, e somente se, 37a+ 13 b=9 c. Ache a solução geral do sistema quando a=2 e b=4. Prove que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+2 y+3 z-3 w & =a \\\\ 2 x-5 y-3 z+12 w & =b \\\\ 7 x+y+8 z+5 w & =c\end{array}\right., admite solução se, e somente se, 37a+ 13 b=9 c. Ache a solução geral do sistema quando a=2 e b=4. Encontre \operatorname{det}(A) e A^{-1} em que A=\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 7 & 1 & 1\end{array}\right]_{4 X 4}