Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z \geq 0, x^{2}+y^{2}=9\right. e \left.4 x+4 y=z^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do conjunto
C=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z\ge0,\;x^2+y^2=9,\;4x+4y=z^2\bigr\}.
Isso é a interseção do cilindro x^2+y^2=9 com o paraboloide z^2=4(x+y), sob a restrição z\ge0. Para parametrizar uma curva em \mathbb{R}^3, vamos usar uma parametrização do círculo e impor a condição sobre z.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos o círculo de raio 3 no plano xy por
x=3\cos t,\quad y=3\sin t,
onde t varia em [0,2\pi). Substituindo em 4x+4y=z^2 obtemos
z^2=4(3\cos t+3\sin t)=12(\cos t+\sin t).
Como queremos z\ge0, temos z=\sqrt{12(\cos t+\sin t)}.

Passo 3

Para que a raiz seja real precisamos \cos t+\sin t\ge0. Note que
\cos t+\sin t=\sqrt2\cos\bigl(t-\tfrac\pi4\bigr)\ge0
se, e somente se,
t-\tfrac\pi4\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr] \quad\Longleftrightarrow\quad t\in\Bigl[-\tfrac\pi4,\;\tfrac{3\pi}4\Bigr].
Portanto o parâmetro t deve variar em \displaystyle t\in\bigl[-\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4\bigr].

Resposta

Uma parametrização conveniente de C é
\mathbf r(t)=\Bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;\sqrt{12\bigl(\cos t+\sin t\bigr)}\Bigr), \quad t\in\Bigl[-\tfrac\pi4,\;\tfrac{3\pi}4\Bigr].

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