Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\right. e \left.2 z=x^{2}+y^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do conjunto
C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=3,\;2z=x^2+y^2\}.
Aqui o conteúdo é entender a interseção de uma esfera de raio \sqrt{3} com o paraboloide z=\tfrac{x^2+y^2}{2} e depois escrever um parâmetro para a curva obtida.

Passo 2

Para simplificar, usemos coordenadas cilíndricas no plano xy: defina
r^2 = x^2+y^2,
de modo que a segunda equação 2z=x^2+y^2 vira
z = \frac{r^2}{2}.

Passo 3

Substituímos essa expressão de z na equação da esfera:
x^2+y^2+z^2 = r^2 + \Bigl(\tfrac{r^2}{2}\Bigr)^2 = 3.
Isso dá
r^2 + \frac{r^4}{4} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{r^4+4r^2-12}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^4+4r^2-12=0.
Resolvendo em s=r^2:
s^2+4s-12=0 \quad\Longrightarrow\quad s=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2}=\frac{-4\pm8}{2},
logo s=2 (descartamos s=-6). Assim
r^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{2},
e então
z = \frac{r^2}{2} = \frac{2}{2} = 1.

Passo 4

Concluímos que a curva C é o círculo de raio \sqrt{2} no plano z=1. Em coordenadas polares (r,\theta) com r=\sqrt{2} fixo, a parametrização é
x(\theta) = \sqrt{2}\cos\theta, \quad y(\theta) = \sqrt{2}\sin\theta, \quad z(\theta) = 1,
para \theta\in[0,2\pi).

Resposta

\boxed{ \boldsymbol\varphi(\theta)=\bigl(\sqrt{2}\cos\theta,\;\sqrt{2}\sin\theta,\;1\bigr), \quad0\le\theta<2\pi. }

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