Encontre uma parametrização da superfície:
Tronco de cone A porção no primeiro octante do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 2 entre os planos z=0 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do cone definida por
z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}
no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) compreendida entre os planos z=0 e z=3.
O conteúdo principal é parametrização de superfície via coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z,
e a equação do cone z = \sqrt{x^2+y^2}/2 vira
z = r/2.

Passo 3

Da relação z = r/2 isolamos r = 2z. Como z varia de 0 a 3, segue
r \in [0,6].
No primeiro octante o ângulo polar \theta varia de 0 a \pi/2.

Passo 4

É conveniente usar como parâmetros u = z e v = \theta. Então
u\in[0,3], \quad v\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 5

Substituindo r=2u e \theta=v na fórmula cilíndrica, obtemos a parametrização
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(2u\cos v,\;2u\sin v,\;u\bigr),
com \;0\le u\le3, \;0\le v\le\pi/2.

Resposta

A parametrização da superfície é
\mathbf{r}(u,v) =\bigl(2u\cos v,\;2u\sin v,\;u\bigr), \quad 0\le u\le3,\; 0\le v\le\tfrac{\pi}{2}.

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