Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo
ao redor da curva
na direção indicada.
: A elipse
no plano
, no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado quer a circulação
do campo
ao longo da curva
, que é a elipse
no plano
, orientada anti-horário vista de cima.
Vamos usar o teorema de Stokes, que transforma essa circulação numa integral de superfície do rotacional de .
Vamos usar o teorema de Stokes, que transforma essa circulação numa integral de superfície do rotacional de
Passo 2
Calculamos o rotacional de
pela definição
onde
,
,
. Assim
Passo 3
Escolhemos como superfície
a região plana
limitada pela elipse
. A orientação anticlockwise vista de cima corresponde ao vetor normal unitário
.
Passo 4
Pelo teorema de Stokes,
A elipse
pode ser escrita como
, com semieixos
e
, logo
Portanto