Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
C : A elipse 4 x^{2}+y^{2}=4 no plano x y, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado quer a circulação
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
do campo \mathbf{F}=x^{2}\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} ao longo da curva C, que é a elipse 4x^{2}+y^{2}=4 no plano z=0, orientada anti-horário vista de cima.
Vamos usar o teorema de Stokes, que transforma essa circulação numa integral de superfície do rotacional de \mathbf{F}.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F} pela definição
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q,\;\partial_{z}P-\partial_{x}R,\;\partial_{x}Q-\partial_{y}P\bigr),
onde P=x^2, Q=2x, R=z^2. Assim
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(0-0,\;0-0,\;2-0\bigr) =(0,0,2)=2\,\mathbf{k}.

Passo 3

Escolhemos como superfície S a região plana z=0 limitada pela elipse 4x^{2}+y^{2}=4. A orientação anticlockwise vista de cima corresponde ao vetor normal unitário \mathbf{n}=\mathbf{k}.

Passo 4

Pelo teorema de Stokes,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S}2\,\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}\,dS =2\iint_{S}dS =2\times\bigl(\text{área da elipse}\bigr).á
A elipse 4x^{2}+y^{2}=4 pode ser escrita como \tfrac{x^{2}}{1}+\tfrac{y^{2}}{4}=1, com semieixos a=1 e b=2, logo
\text{área}(S)=\pi\,a\,b=2\pi.á
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =2\times2\pi=4\pi.

Resposta

4\pi

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