Encontre a parte real e a parte imaginária das equações abaixo: .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a parte real e a parte imaginária da função complexa f(z)=. O conteúdo é decomposição de função complexa em partes real e imaginária, e vamos precisar usar z= e racionalizar o denominador.
Passo 2
Primeiro expressamos o numerador e o denominador em termos de x e y:
Temos z=.
O numerador é
Então e .
O denominador é
Então e .
Passo 3
Para eliminar a parte imaginária do denominador, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada de D, que é . Assim:
f(z)=ND=N,overline DD,overline D
No denominador obtemos
D,overline D = x^2+(y+2)^2
Passo 4
Agora calculamos o produto no numerador:
N,overline D=(Nr + iNi)(Dr - iDi)
Usando a fórmula
(a+ib)(c-id)=(ac+bd)+i(bc-ad),
logo a parte real é NrDr+NiDi e a imaginária é NiDr - NrDi. Substituindo: