Encontre a parte real e a parte imaginária das equações f(z) abaixo:
f(z)=3 i z-1z+2 i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte real e a parte imaginária da função complexa f(z)= 3iz-1z+2i. O conteúdo é decomposição de função complexa em partes real e imaginária, e vamos precisar usar z= x+iy e racionalizar o denominador.

Passo 2

Primeiro expressamos o numerador e o denominador em termos de x e y:
Temos z= x+iy.
O numerador é
N=3i z-1=3i(x+iy)-1= -3y-1 + i,3x
Então Nr=-3y-1 e Ni=3x.
O denominador é
D=z+2i=x + i(y+2)
Então Dr=x e Di=y+2.

Passo 3

Para eliminar a parte imaginária do denominador, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada de D, que é overline D = x - i(y+2). Assim:
f(z)=ND=N,overline DD,overline D
No denominador obtemos
D,overline D = x^2+(y+2)^2

Passo 4

Agora calculamos o produto no numerador:
N,overline D=(Nr + iNi)(Dr - iDi)
Usando a fórmula
(a+ib)(c-id)=(ac+bd)+i(bc-ad),
logo a parte real é NrDr+NiDi e a imaginária é NiDr - NrDi. Substituindo:
Re numerador=(-3y-1)x + (3x)(y+2),
Im numerador=(3x)x - (-3y-1)(y+2)

Passo 5

Simplificamos cada expressão:
Para a parte real:
(-3y-1)x + 3x(y+2) = -3xy - x + 3xy + 6x = 5x
Para a parte imaginária:
3x^2 -(-3y-1)(y+2) = 3x^2 + (3y+1)(y+2) =3x^2 +3y^2+7y+2

Passo 6

Portanto, dividindo pelos x^2+(y+2)^2, concluímos que
Re f(z)=5xx^2+(y+2)^2,
Im f(z)=3x^2+3y^2+7y+2x^2+(y+2)^2

Resposta

Re f(z)=5xx^2+(y+2)^2 e Im f(z)=3x^2+3y^2+7y+2x^2+(y+2)^2.

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