Calcule integral 5^tg xcos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral 5^tan xcos^2(x) , dx
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que, se substituída, simplificaria a integral. Observamos que a derivada de tan x é 1cos^2(x), que já aparece na nossa integral. Isso nos dá uma pista para a substituição.
Vamos definir:
u = tan x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Sabemos que:
dudx = ddx(tan x) = 1cos^2(x)
Portanto,
du = 1cos^2(x) , dx

Passo 4

Com essa substituição, nossa integral original fica muito mais simples. Substituímos 5^tan x por 5^u e 1cos^2(x) , dx por du. Assim, a integral passa a ser:
integral 5^u , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 5^u em relação a u. A integral de a^u é dada por:
integral a^u , du = a^uln a + C
onde C é a constante de integração. Aplicando isso ao nosso caso:
integral 5^u , du = 5^uln 5 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u por tan x:
5^tan xln 5 + C

Resposta

A integral é igual a dfrac5^tan xln,5 + C.

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