Encontre a parte real e a parte imaginária das equações f(z) abaixo:
f(z)=z^4,

Passo 1

A questão pede pra gente achar a parte real e a parte imaginária da função f(z)=z⁴, que é conteúdo de operação com números complexos e aplicação do teorema binomial. Vamos escrever o número complexo z como z=x+iy, onde x é a parte real e y é a parte imaginária. Assim, calcular z⁴ vai exigir expandir (x+iy)⁴ usando o binômio de Newton.

Passo 2

Pelo teorema binomial temos:
(x+iy)^4 = x^4 + 4x^3(iy) + 6x^2(iy)^2 + 4x(iy)^3 + (iy)^4
Agora vamos simplificar cada termo lembrando que i²=-1, i³=-i e i⁴=1:
x^4 + 4ix^3y + 6x^2(i^2)y^2 + 4x(i^3)y^3 + (i^4)y^4
= x^4 + 4ix^3y + 6x^2(-1)y^2 + 4x(-i)y^3 + 1,y^4
= x^4 + 4ix^3y - 6x^2y^2 - 4ixy^3 + y^4

Passo 3

Agora agrupamos as partes real e imaginária: Parte real vem dos termos sem i:
Rel(z^4r)=x^4 - 6x^2y^2 + y^4
Parte imaginária vem dos coeficientes que multiplicam i:
Iml(z^4r)=4x^3y - 4xy^3

Resposta

Re\bigl(z4\bigr)=x4 - 6x2y2 + y^4 e Im\bigl(z4\bigr)=4x3y - 4xy^3

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