Encontre a parte real e a parte imaginária das equações
abaixo:
,
Passo 1
A questão pede pra gente achar a parte real e a parte imaginária da função f(z)=z⁴, que é conteúdo de operação com números complexos e aplicação do teorema binomial. Vamos escrever o número complexo z como z=x+iy, onde x é a parte real e y é a parte imaginária. Assim, calcular z⁴ vai exigir expandir (x+iy)⁴ usando o binômio de Newton.
Passo 2
Pelo teorema binomial temos:
Agora vamos simplificar cada termo lembrando que i²=-1, i³=-i e i⁴=1:
Passo 3
Agora agrupamos as partes real e imaginária: Parte real vem dos termos sem i:
Parte imaginária vem dos coeficientes que multiplicam i:
Resposta
Re\bigl(z4\bigr)=x4 - 6x2y2 + y^4 e Im\bigl(z4\bigr)=4x3y - 4xy^3