Encontre um aaplicação f(z)=a z+b, a, b in C tal que f leva o triângulo T1 com vérticies 0,1 e i no triângulo T2 com vértices 2 i, 3 i,-1+3 i.

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação afim no plano complexo que leva o triângulo T₁ com vértices 0, 1 e i no triângulo T₂ com vértices 2i, 3i e –1+3i. O conteúdo aqui é transformações afins (ou afim) em ℂ, que têm a forma f(z)=az+b. Para resolver, precisamos decidir qual vértice de T₁ vai para qual vértice de T₂, usar duas condições para achar a e b e então verificar a terceira.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da transformação: f(z)=az+b. Como f(0)=b, f(1)=a+b e f(i)=ai+b, basta atribuir dois dos valores alvo a f(0) e f(1), resolver para a e b e depois conferir se f(i) cai no terceiro vértice.

Passo 3

Escolhemos a correspondência f(0)=3i e f(1)=–1+3i. Assim temos b=3i e
a = f(1)-b = (-1+3i) - 3i = -1

Passo 4

A partir daí a aplicação fica
f(z) = -1cdot z + 3i = -z + 3i

Passo 5

Agora verificamos o terceiro vértice:
f(i) = -i + 3i = 2i,
que é exatamente o vértice que faltava em T₂. Portanto toda a tríade de pontos de T₁ foi levada no conjunto {2i,3i,–1+3i}, ou seja, no triângulo T₂.

Resposta

f(z) = -z + 3i

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