Encontre os polinômios de Taylor de ordens 0,1,2 e 3 gerados por f em a.
f(x)=\sqrt{x}, \quad a=0

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 0, 1, 2 e 3 para
f(x)=\sqrt{x}
em torno de a=0. Para isso, normalmente calcularíamos f(a), f'(a), f''(a) e f'''(a) e montaríamos
P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.

Passo 2

Calculemos primeiro
f(0)=\sqrt{0}=0,
portanto o polinômio de Taylor de ordem 0 é
P_0(x)=f(0)=0.

Passo 3

Agora a derivada primeira para x>0 é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Mas
\lim_{x\to0^+}f'(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{2\sqrt{x}}=+\infty,
logo f'(0) não existe. Sem derivada primeira em 0, não há como definir P_1; e, consequentemente, também não existem P_2 nem P_3.

Resposta

Pelo fato de f não ser diferenciável em 0 além de ordem zero, temos P_0(x)=0
e não existem P_1, P_2 nem P_3.

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