(a) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. (b) Para quais valores de x a série converge absolutamente? (c) Para quais valores de x a série converge condicionalmente?
(a) \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}
(b) \sum_{n=0}^{\infty}(x+5)^{n}
(c) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(4 x+1)^{n}
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x-2)^{n}}{n}
(e) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}
(f) \sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{n}
(g) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^{n}}{n+2}
(h) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{n}
(i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \sqrt{n} 3^{n}}
(j) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{\sqrt{n}}
(k) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}
(l) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n} x^{n}}{n!}

Passo 1

Temos doze séries de potências, cada uma na forma
\sum_{n} a_n\,(x-c)^n
e precisamos, para cada letra de (a) a (l):
  1. Encontrar o raio de convergência R via teste da raiz (ou razão).
  2. Determinar o intervalo de convergência (c-R,\;c+R).
  3. Indicar para quais x a série converge absolutamente.
  4. Indicar para quais x a série converge condicionalmente (ou seja, converge mas não absolutamente).

Passo 2

Lembrando a teoria das séries de potências:
  • O raio de convergência é
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.
  • Dentro do intervalo |x-c|<R há convergência absoluta.
  • Nos pontos extremos x = c\pm R é preciso testar caso a caso (p.ex., teste da série geométrica, p-série, série alternante).
  • Convergência condicional ocorre nos extremos que convergem mas não convergem absolutamente.

Passo 3

Calculamos R e o intervalo para cada série:
(a) \sum_{n=0}^\infty x^n \;a_n=1,\;c=0\implies R=1,\;I=(-1,1). (b) \sum_{n=0}^\infty (x+5)^n \;a_n=1,\;c=-5\implies R=1,\;I=(-6,-4). (c) \sum_{n=0}^\infty(-1)^n(4x+1)^n = \sum[( -1)(4x+1)]^n \;a_n=(-1)^n,\;c=-\tfrac14\implies R=\tfrac14,\;I\bigl(-\tfrac12,0\bigr). (d) \sum_{n=1}^\infty\frac{(3x-2)^n}{n} \;a_n=1/n,\;c=\tfrac23\implies R=\tfrac13,\;I\bigl(\tfrac23-\tfrac13,\;\tfrac23+\tfrac13\bigr)=(\tfrac13,1). (e) \sum_{n=0}^\infty\frac{(x-2)^n}{10^n}=\sum\bigl(\tfrac{x-2}{10}\bigr)^n \;a_n=1/10^n,\;c=2\implies R=10,\;I=(-8,12). (f) \sum_{n=0}^\infty(2x)^n \;a_n=2^n,\;c=0\implies R=\tfrac12,\;I=(-\tfrac12,\tfrac12). (g) \sum_{n=0}^\infty\frac{n\,x^n}{n+2} \;a_n=\tfrac{n}{n+2},\;c=0\implies \limsup\sqrt[n]{a_n}=1\implies R=1,\;I=(-1,1). (h) \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(x+2)^n}{n} \;a_n=(-1)^n/n,\;c=-2\implies R=1,\;I=(-3,-1). (i) \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\sqrt n\,3^n} \;a_n=1/(n\sqrt n\,3^n),\;c=0\implies R=3,\;I=(-3,3). (j) \sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^n}{\sqrt n} \;a_n=1/\sqrt n,\;c=1\implies R=1,\;I=(0,2). (k) \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\,x^n}{n!} \;a_n=(-1)^n/n!,\;c=0\implies R=\infty,\;I=(-\infty,\infty). (l) \sum_{n=0}^\infty\frac{3^n\,x^n}{n!} \;a_n=3^n/n!,\;c=0\implies R=\infty,\;I=(-\infty,\infty).

Passo 4

Convergência absoluta: sempre vale |x-c|<R. Se em algum extremo \sum|a_n(x-c)^n| converge (p.ex.\ p-série com expoente >1), incluímos esse ponto.

Passo 5

Convergência condicional: nos extremos onde a série original converge mas a de termos absolutos diverge (p.ex.\ série alternante ou harmônica).

Resposta

(a) R=1,\;I=(-1,1). Convergência absoluta em |x|<1. Nenhuma convergência condicional.
(b) R=1,\;I=(-6,-4). Convergência absoluta em -6<x<-4. Nenhuma condicional.
(c) R=\tfrac14,\;I(-\tfrac12,0). Convergência absoluta em -\tfrac12<x<0. Nenhuma condicional.
(d) R=\tfrac13,\;I(\tfrac13,1). Convergência absoluta em \tfrac13<x<1. Em x=\tfrac13 temos \sum(-1)^n/n que converge condicionalmente; em x=1 diverge.
(e) R=10,\;I(-8,12). Convergência absoluta em -8<x<12. Nenhuma condicional.
(f) R=\tfrac12,\;I(-\tfrac12,\tfrac12). Convergência absoluta em |x|<\tfrac12. Nenhuma condicional.
(g) R=1,\;I(-1,1). Convergência absoluta em |x|<1. Nenhuma condicional (os extremos divergem).
(h) R=1,\;I(-3,-1). Convergência absoluta em -3<x<-1. Em x=-1 \sum(-1)^n/n converge condicionalmente; em x=-3 diverge.
(i) R=3,\;I(-3,3). Em x=\pm3 temos \sum1/(n^{3/2}), que converge absolutamente. Logo absoluta em |x|\le3, nenhuma condicional.
(j) R=1,\;I(0,2). Convergência absoluta em 0<x<2. Em x=0 \sum(-1)^n/\sqrt n converge condicionalmente; em x=2 diverge.
(k) R=\infty,\;I=\mathbb R. Converge absolutamente para todo x. Nenhuma condicional.
(l) R=\infty,\;I=\mathbb R. Converge absolutamente para todo x. Nenhuma condicional.

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