(a) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. (b) Para quais valores de
a série converge absolutamente? (c) Para quais valores de
a série converge condicionalmente?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
Temos doze séries de potências, cada uma na forma
e precisamos, para cada letra de (a) a (l):
- Encontrar o raio de convergência
via teste da raiz (ou razão). - Determinar o intervalo de convergência
. - Indicar para quais
a série converge absolutamente. - Indicar para quais
a série converge condicionalmente (ou seja, converge mas não absolutamente).
Passo 2
Lembrando a teoria das séries de potências:
- O raio de convergência é
- Dentro do intervalo
há convergência absoluta. - Nos pontos extremos
é preciso testar caso a caso (p.ex., teste da série geométrica, p-série, série alternante). - Convergência condicional ocorre nos extremos que convergem mas não convergem absolutamente.
Passo 3
Calculamos
e o intervalo para cada série:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 4
Convergência absoluta: sempre vale
. Se em algum extremo
converge (p.ex.\ p-série com expoente >1), incluímos esse ponto.
Passo 5
Convergência condicional: nos extremos onde a série original converge mas a de termos absolutos diverge (p.ex.\ série alternante ou harmônica).
Resposta
(a)
Convergência absoluta em
. Nenhuma convergência condicional.
(b)
Convergência absoluta em
. Nenhuma condicional.
(c)
Convergência absoluta em
. Nenhuma condicional.
(d)
Convergência absoluta em
. Em
temos
que converge condicionalmente; em
diverge.
(e)
Convergência absoluta em
. Nenhuma condicional.
(f)
Convergência absoluta em
. Nenhuma condicional.
(g)
Convergência absoluta em
. Nenhuma condicional (os extremos divergem).
(h)
Convergência absoluta em
. Em
converge condicionalmente; em
diverge.
(i)
Em
temos
, que converge absolutamente. Logo absoluta em
, nenhuma condicional.
(j)
Convergência absoluta em
. Em
converge condicionalmente; em
diverge.
(k)
Converge absolutamente para todo
. Nenhuma condicional.
(l)
Converge absolutamente para todo
. Nenhuma condicional.