Encontre o ponto de interseção das retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2 t+1 \\\ y=3 t+2 \\\ z=4 t+3\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=s+2 \\\ y=2 s+4, \\\ z=-4 s-1\end{array} \quad s \in \mathbb{R} \quad\right.. Determine a equação geral do plano determinado por estas retas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos as retas
r:\begin{cases} x = 2t + 1,\\\ y = 3t + 2,\\\ z = 4t + 3, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}
e
s:\begin{cases} x = s + 2,\\\ y = 2s + 4,\\\ z = -4s - 1, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}.
O primeiro objetivo é achar o ponto de interseção, resolvendo o sistema que iguala as coordenadas de r e s. O segundo objetivo é determinar a equação geral do plano que contém ambas as retas. Para isso vamos precisar resolver sistemas lineares e usar produto vetorial para obter o vetor normal do plano.

Passo 2

Igualamos as coordenadas de r e s:
2t + 1 = s + 2,\quad 3t + 2 = 2s + 4,\quad 4t + 3 = -4s - 1.
Da primeira equação segue
s = 2t - 1.
Substituindo na segunda:
3t + 2 = 2(2t - 1) + 4 = 4t - 2 + 4 = 4t + 2
leva a
3t + 2 = 4t + 2 \;\;\Longrightarrow\;\; t = 0.
Então s = 2\cdot0 - 1 = -1.

Passo 3

Verificamos na terceira equação:
4t + 3 = 4\cdot0 + 3 = 3, \quad -4s - 1 = -4(-1) - 1 = 4 - 1 = 3,
concordam. Logo o ponto de interseção é obtido para t=0 em r:
P = (x,y,z) = (2\cdot0+1,\;3\cdot0+2,\;4\cdot0+3) = (1,2,3).

Passo 4

Para achar o plano precisamos de dois vetores diretores que estejam nele. São exatamente os vetores diretores de r e s:
\vec v_r = (2,3,4), \quad \vec v_s = (1,2,-4).

Passo 5

O vetor normal \vec n do plano é dado pelo produto vetorial \vec v_r \times \vec v_s. Calculando:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3\cdot(-4)-4\cdot2) - \mathbf{j}(2\cdot(-4)-4\cdot1) + \mathbf{k}(2\cdot2-3\cdot1)
= \mathbf{i}(-12-8) - \mathbf{j}(-8-4) + \mathbf{k}(4-3) = -20\,\mathbf{i} +12\,\mathbf{j} +1\,\mathbf{k}.

Passo 6

Usamos a forma ponto–normal do plano, com ponto P=(1,2,3) e normal \vec n=(-20,12,1):
-20\,(x-1) +12\,(y-2) +1\,(z-3) = 0.
Expandindo:
-20x +20 +12y -24 +z -3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -20x +12y +z -7 = 0.
Multiplicando por -1 para forma mais usual:
20x -12y - z +7 = 0.

Resposta

O ponto de interseção é (1,2,3).
A equação geral do plano determinado pelas retas é
20x - 12y - z + 7 = 0.

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