Encontre o ponto no plano 2 x+y-z=0 que é mais próximo do ponto (2,-1,-3)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica. O enunciado pede para encontrar o ponto no plano que está mais perto do ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e um plano, além de utilizar vetores normais ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. A equação do plano é , então o vetor normal é . Esse vetor é perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto dado . Queremos encontrar o ponto no plano que está mais próximo de . Para isso, vamos projetar o vetor que liga ao plano ao longo do vetor normal .

Passo 4

Vamos escrever a equação da reta que passa por x = 2 + 2t y = -1 + t z = -3 - t e tem direção . As equações paramétricas dessa reta são:
Queremos encontrar o valor de que faz o ponto estar no plano .

Passo 5

Substituímos as equações da reta na equação do plano:
2(2 + 2t) + (-1 + t) - (-3 - t) = 0 4 + 4t - 1 + t + 3 + t = 0 (4t + t + t) + (4 - 1 + 3) = 0 6t + 6 = 0 6t = -6 t = -1
Agora, substituímos x = 2 + 2(-1) = 0 y = -1 + (-1) = -2 z = -3 - (-1) = -2 nas equações paramétricas para encontrar :

Resposta

O ponto no plano que é mais próximo de é .

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