Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com \mathrm{x} \in(0,2 \pi).
f(x)=2 \cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos de f no intervalo (0,2\pi) e classificá‑los como máximo ou mínimo.
Informações dadas:
f(x)=2\cos(3x),\qquad x\in(0,2\pi).
O que se quer:
  • Determinar todos os x\in(0,2\pi) onde f'(x)=0 ou f' não existe (pontos críticos).
  • Classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo.

Passo 2

Lembrete rápido (aulas de receita): um ponto crítico ocorre quando a derivada é zero ou quando a derivada não existe. Aqui f é composta por funções trigonométricas (coseno) e é diferenciável em todo \mathbb{R}, então só precisamos resolver f'(x)=0.
Agora calculamos a derivada. Regra que usamos: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' (isso é a regra da cadeia: derivada da função externa avaliada na interna vezes derivada da interna).
Aplicando:
f(x)=2\cos(3x)\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2\cdot\bigl(-\sin(3x)\bigr)\cdot(3) = -6\sin(3x).

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
-6\sin(3x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(3x)=0.
A solução geral de \sin t = 0 é t=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Aqui t=3x, logo
3x = k\pi \quad\Rightarrow\quad x = \frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora impomos a condição de pertencimento ao intervalo (0,2\pi):
0 < \frac{k\pi}{3} < 2\pi \quad\Longleftrightarrow\quad 0<k<6.
Como k é inteiro, temos k=1,2,3,4,5. Portanto os pontos críticos no intervalo são
x=\frac{\pi}{3},\\ \frac{2\pi}{3},\\ \pi,\\ \frac{4\pi}{3},\\ \frac{5\pi}{3}.

Passo 4

Classificação: vamos usar o teste da segunda derivada (prático e direto). Primeiro calculamos f''(x). Derivando f'(x)=-6\sin(3x) usando novamente a regra da cadeia:
f''(x) = -6\cos(3x)\cdot 3 = -18\cos(3x).
O teste da segunda derivada diz:
  • Se f''(x_0)>0 então x_0 é ponto de mínimo local.
  • Se f''(x_0)<0 então x_0 é ponto de máximo local.
  • Se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).
Avaliamo­s f'' nos pontos críticos. Para x=\dfrac{k\pi}{3} temos 3x=k\pi, e \cos(k\pi)=(-1)^k. Assim
f''\!\left(\frac{k\pi}{3}\right) = -18\cos(k\pi) = -18(-1)^k.
  • Se k é par então (-1)^k=1 e f''=-18<0 ⇒ máximo local.
  • Se k é ímpar então (-1)^k=-1 e f''=18>0 ⇒ mínimo local.
Aplicando com os valores de k:
  • k=1 ( x=\tfrac{\pi}{3}): k ímpar ⇒ mínimo.
  • k=2 ( x=\tfrac{2\pi}{3}): k par ⇒ máximo.
  • k=3 ( x=\pi): k ímpar ⇒ mínimo.
  • k=4 ( x=\tfrac{4\pi}{3}): k par ⇒ máximo.
  • k=5 ( x=\tfrac{5\pi}{3}): k ímpar ⇒ mínimo.
Como verificação rápida (intuição): f(x)=2\cos(3x) tem amplitude 2, então nos pontos onde \cos(3x)=1 o valor é 2 (máximo), e onde \cos(3x)=-1 o valor é -2 (mínimo). Em nossos pontos críticos \cos(3x)=\cos(k\pi)=(-1)^k, que confirma a classificação acima.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{3} — mínimo\n
x=\dfrac{2\pi}{3} — máximo\n
x=\pi — mínimo\n
x=\dfrac{4\pi}{3} — máximo\n
x=\dfrac{5\pi}{3} — mínimo

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