Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos de
no intervalo
e classificá‑los como máximo ou mínimo.
Informações dadas:
O que se quer:
- Determinar todos os
onde ou não existe (pontos críticos). - Classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo.
Passo 2
Lembrete rápido (aulas de receita): um ponto crítico ocorre quando a derivada é zero ou quando a derivada não existe. Aqui
é composta por funções trigonométricas (coseno) e é diferenciável em todo
, então só precisamos resolver
.
Agora calculamos a derivada. Regra que usamos: a derivada de
é
(isso é a regra da cadeia: derivada da função externa avaliada na interna vezes derivada da interna).
Aplicando:
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
A solução geral de
é
, com
. Aqui
, logo
Agora impomos a condição de pertencimento ao intervalo
:
Como
é inteiro, temos
. Portanto os pontos críticos no intervalo são
Passo 4
Classificação: vamos usar o teste da segunda derivada (prático e direto). Primeiro calculamos
. Derivando
usando novamente a regra da cadeia:
O teste da segunda derivada diz:
- Se
então é ponto de mínimo local. - Se
então é ponto de máximo local. - Se
o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).
Avaliamos
nos pontos críticos. Para
temos
, e
. Assim
- Se
é par então e ⇒ máximo local. - Se
é ímpar então e ⇒ mínimo local.
Aplicando com os valores de
:
-
( ): ímpar ⇒ mínimo. -
( ): par ⇒ máximo. -
( ): ímpar ⇒ mínimo. -
( ): par ⇒ máximo. -
( ): ímpar ⇒ mínimo.
Como verificação rápida (intuição):
tem amplitude
, então nos pontos onde
o valor é
(máximo), e onde
o valor é
(mínimo). Em nossos pontos críticos
, que confirma a classificação acima.